Представление производящей функций в виде непрерывных дробей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(sta)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 46 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Определения==
 
==Определения==
 
{{Определение  
 
{{Определение  
|definition='''Непрерывная дробь''' (англ. ''continued fraction'') — это бесконечное математическое выражение вида
+
|definition='''Непрерывная дробь''' (англ. ''continued fraction'') — это конечное или бесконечное математическое выражение вида
<tex>a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}\;</tex>
+
<tex>a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}} = \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cfrac{b_2}{a_2},\cfrac{b_3}{a_3}, \cdots \biggr]\;</tex>
 
где <tex>a_{0}</tex> и <tex>b_n</tex> есть целые числа, а <tex>a_n</tex> — натуральные числа (положительные целые).}}
 
где <tex>a_{0}</tex> и <tex>b_n</tex> есть целые числа, а <tex>a_n</tex> — натуральные числа (положительные целые).}}
 +
 +
Если <tex>b_i = 1</tex> для всех <tex>i</tex>, выражение называется [[Цепная_дробь | простой непрерывной дробью]] (англ. ''regular continued fraction'').
 +
 +
В некоторой литературе вместо термина «непрерывная дробь» используют термин '''«цепная дробь»'''.
 +
 
{{Определение  
 
{{Определение  
|definition='''Конечная непрерывная дробь''' (англ. ''finite continued fraction'')  — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> и <tex>\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.</tex>}}
+
|definition='''Конечная непрерывная дробь''' (англ. ''finite continued fraction'')  — это непрерывная дробь, которая состоит из конечных наборов <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> и <tex>\langle b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.</tex>}}
Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.
+
 
 +
{{Определение
 +
|definition='''K-подходящей дробью''' (англ. ''k-suitable fraction'')  непрерывной дроби <tex> \biggl[ a_0;\cfrac{b_k}{a_k} \biggr]^{n}_{1} </tex> называют обыкновенную дробь <tex>\cfrac{P_k}{Q_k} \equiv \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cdots,\cfrac{b_k}{a_k} \biggr] (k = 1,2\cdots)</tex>, где <tex>k \leqslant n</tex>, а <tex>P_i, Q_i</tex> - многочлены <tex>i</tex>-ой степени}}
 +
 
 +
==Разложение дробно-рациональной производящей функции==
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
[[Теорема_о_связи_между_рациональностью_производящей_функции_и_линейной_рекуррентностью_задаваемой_ей_последовательности| Дробно-рациональная производящая функция]] всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.
 +
|proof = Если у нас есть дробно-рациональная производящая функция
 +
 
 +
<tex>\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots},</tex>
 +
 
 +
то в общем случае:
 +
 
 +
<tex>\; f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}+\cfrac{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}} = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+xf_1(x)},</tex>
 +
 
 +
где
 +
 
 +
<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}</tex>
 +
 
 +
и
 +
 
 +
<tex>\; c_{2,k} = c_{1,0} \cdot c_{0,k+1} - c_{0,0} \cdot c_{1,k+1} \; (k=0,1, \cdots).</tex>
 +
 
 +
Аналогично
 +
 
 +
<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}}{c_{1,0}+xf_2(x)},</tex>
 +
 
 +
где
 +
 
 +
<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{3,0}+c_{3,1}x+c_{3,2}x^2+\cdots}{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}</tex>
  
==Свойства==
+
и
Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь[20]:
 
<br><tex>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</tex><br>
 
Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>:<br>
 
<tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex>
 
  
При чем рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь. Следовательно дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.
+
<tex>\; c_{3,k} = c_{2,0} \cdot c_{1,k+1} - c_{1,0} \cdot c_{2,k+1} \; (k=0,1, \cdots)</tex>
 +
 
 +
и так далее. Таким Образом
 +
 
 +
<tex>\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}+\cfrac{c_{3,0}}{c_{2,0}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}},\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}},\cfrac{c_{3,0}x}{c_{2,0}}, \cdots , \cfrac{c_{n,0}x}{c_{n-1,0}} \biggr], </tex>
 +
 
 +
При чем легко убедиться, что непрерывная дробь получится конечной.}}
  
 
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби==
 
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби==
 +
Рассмотрим [[Производящая_функция| производящую функцию]] для [[Числа_Каталана| чисел Каталана]]
 +
 +
<tex>Cat(s) = c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots = 1 + s + 2s^2 + 5s^3 + \cdots</tex>
 +
 +
Возведя ее в квадрат и умножив результат на <tex>s</tex>, получим
 +
 +
<tex>sCat^2(s) = c^2_0s + (c_0c_1 + c_1c_0)s^2 + (c_0c_2 + c_1c_1 + c_2c_0)s^3 + \cdots = s + 2s^2 + 5s^3 + 14s^4 + \cdots = Cat(s) − 1,</tex>
 +
 +
что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию
 +
 +
<tex>sCat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.</tex>
 +
 +
Перепишем это уравнение в виде
 +
 +
<tex>Cat(s) - sCat^{2}(s)= 1,</tex>
 +
 +
или
 +
 +
<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - sCat(s)}.</tex>
 +
 +
Подставив выражение для <tex>Cat(s)</tex> из левой части равенства в
 +
правую часть того же равенства, получим
 +
 +
<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - sCat(s)}}.</tex>
 +
 +
Подставляя вновь выражение для <tex>Cat(s)</tex> в получившееся равенство и продолжая этот процесс, мы получаем представление для
 +
функции Каталана в виде непрерывной дроби:
 +
 +
<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - \cfrac{s}{1 - \cdots}}}.</tex>
 +
 +
Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на <tex>n</tex>-м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням <tex>s</tex> будут совпадать с коэффициентами разложения функции <tex>Cat(s)</tex> вплоть до члена <tex>s^{n}</tex>.
 +
Заметим, что из-за наличия множителя <tex>s</tex> в числителе очередной дроби, присоединяемой на <tex>(n + 1)</tex>-м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых <tex>n</tex> коэффициентов в ее разложении. Например,
 +
 +
<tex>\cfrac{1}{1 - s} = \boldsymbol{1 + s} + s^2 + s^3 + s^4 + \cdots,</tex>
 +
 +
<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - s}} = \boldsymbol{1 + s + 2s^2} + 4s^3 + 8s^4 + \cdots,</tex>
 +
 +
<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - \cfrac{s}{1 - s}}} = \boldsymbol{1 + s + 2s^2 + 5s^3} + 13s^4 + \cdots</tex>
 +
 +
Стабилизирующаяся часть разложения выделена.
 +
 +
==Треугольник Дика==
 +
Треугольник Дика перечисляет пути в положительном квадранте плоскости, выходящие из начала координат и составленные из векторов <tex>(1, 1)</tex> и <tex>(1, −1)</tex>.
 +
 +
[[Файл:R3.PNG]]
 +
 +
Изменим несколько треугольник Дика, поставив на стрелках числа. А именно, поставим на каждой стрелке номер того ряда, в котором она находится. Номер на стрелке
 +
мы будем интерпретировать как ее кратность, то есть как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь. То есть значение элемента треугольника, которому раньше соответствовал путь в точку плоскости <tex>(m;n)</tex>, теперь равно следующему: <tex>c_{m,n} = (n+1)c_{m-1,n+1}+nc_{m-1,n-1}</tex>.
 +
 +
[[Файл:R6.PNG]]
 +
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=Производящая функция <tex>F_{0}(s) = 1 + s^2 + 5s^4 + 61s^6 + 1385s^8 + \cdots</tex> для нижней стороны треугольника Дика представляется в
 +
виде непрерывной дроби
 +
 +
<tex>F_{0}(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1^2s^{2}}{1 - \cfrac{2^2s^2}{1 - \cfrac{3^2s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex>
 +
 +
|proof=Производящая функция <tex>F_0(s)</tex> перечисляет различные пути с началом и концом на высоте <tex>0</tex>. Обозначим через <tex>F_i(s)</tex> производящую функцию, перечисляющую пути с началом и концом на высоте <tex>i</tex>, которые не опускаются ниже уровня <tex>i</tex>, по их длине.
 +
Тогда
 +
 +
<tex>F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)}.</tex>
 +
 +
Действительно, каждый путь с началом и концом на высоте <tex>0</tex> единственным образом разбивается на такие участки, что
 +
#Концы пути на каждом участке лежат на высоте <tex>0</tex>.
 +
#Высота всех промежуточных точек пути на каждом участке больше нуля.
 +
Если отбросить начальный и конечный отрезок такого участка, то мы получим путь, начинающийся и заканчивающийся на высоте <tex>1</tex>.
 +
Аналогично,
 +
 +
<tex>F_1(s) = \cfrac{1}{1 - 4s^2F_2(s)}.</tex>
 +
 +
Появление четверки в коэффициенте при <tex>s^2</tex> объясняется тем, что к данному пути, начало и конец которого лежат на высоте <tex>2</tex>, начальный и конечный векторы, превращающие его в путь на высоте <tex>1</tex>, можно добавить четырьмя «различными» способами.
 +
Продолжая это рассуждение, мы заключаем, что
 +
 +
<tex>F_k(s) = \cfrac{1}{1 - (k+1)^2s^2F_{k+1}(s)},</tex>
 +
 +
и непрерывная дробь теперь выписывается очевидным образом:
 +
 +
<tex>F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - 4s^2F_2(s)}} =  \cfrac{1}{1 - \cfrac{1s^{2}}{1 - \cfrac{4s^2}{1 - \cfrac{9s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex>
 +
 +
}}
 +
 +
==См. также==
 +
* [[Производящая функция]]
 +
* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
* [https://www.mccme.ru/free-books/lando/lando-genfunc.pdf Лекции о производящих функциях]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8C Непрерывная дробь]
 +
* Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Изд. 2-е. — М.: Физматлит, 1963. — С. 53—73. — 660 с.
 +
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Производящая функция]]

Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022

Определения

Определение:
Непрерывная дробь (англ. continued fraction) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

[math]a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}} = \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cfrac{b_2}{a_2},\cfrac{b_3}{a_3}, \cdots \biggr]\;[/math]

где [math]a_{0}[/math] и [math]b_n[/math] есть целые числа, а [math]a_n[/math] — натуральные числа (положительные целые).


Если [math]b_i = 1[/math] для всех [math]i[/math], выражение называется простой непрерывной дробью (англ. regular continued fraction).

В некоторой литературе вместо термина «непрерывная дробь» используют термин «цепная дробь».


Определение:
Конечная непрерывная дробь (англ. finite continued fraction) — это непрерывная дробь, которая состоит из конечных наборов [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] и [math]\langle b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.[/math]


Определение:
K-подходящей дробью (англ. k-suitable fraction) непрерывной дроби [math] \biggl[ a_0;\cfrac{b_k}{a_k} \biggr]^{n}_{1} [/math] называют обыкновенную дробь [math]\cfrac{P_k}{Q_k} \equiv \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cdots,\cfrac{b_k}{a_k} \biggr] (k = 1,2\cdots)[/math], где [math]k \leqslant n[/math], а [math]P_i, Q_i[/math] - многочлены [math]i[/math]-ой степени


Разложение дробно-рациональной производящей функции

Утверждение:
Дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.
[math]\triangleright[/math]

Если у нас есть дробно-рациональная производящая функция

[math]\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots},[/math]

то в общем случае:

[math]\; f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}+\cfrac{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}} = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+xf_1(x)},[/math]

где

[math]\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}[/math]

и

[math]\; c_{2,k} = c_{1,0} \cdot c_{0,k+1} - c_{0,0} \cdot c_{1,k+1} \; (k=0,1, \cdots).[/math]

Аналогично

[math]\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}}{c_{1,0}+xf_2(x)},[/math]

где

[math]\; f_1(x) = \cfrac{c_{3,0}+c_{3,1}x+c_{3,2}x^2+\cdots}{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}[/math]

и

[math]\; c_{3,k} = c_{2,0} \cdot c_{1,k+1} - c_{1,0} \cdot c_{2,k+1} \; (k=0,1, \cdots)[/math]

и так далее. Таким Образом

[math]\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}+\cfrac{c_{3,0}}{c_{2,0}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}},\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}},\cfrac{c_{3,0}x}{c_{2,0}}, \cdots , \cfrac{c_{n,0}x}{c_{n-1,0}} \biggr], [/math]

При чем легко убедиться, что непрерывная дробь получится конечной.
[math]\triangleleft[/math]

Функция Каталана в виде непрерывной дроби

Рассмотрим производящую функцию для чисел Каталана

[math]Cat(s) = c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots = 1 + s + 2s^2 + 5s^3 + \cdots[/math]

Возведя ее в квадрат и умножив результат на [math]s[/math], получим

[math]sCat^2(s) = c^2_0s + (c_0c_1 + c_1c_0)s^2 + (c_0c_2 + c_1c_1 + c_2c_0)s^3 + \cdots = s + 2s^2 + 5s^3 + 14s^4 + \cdots = Cat(s) − 1,[/math]

что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию

[math]sCat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.[/math]

Перепишем это уравнение в виде

[math]Cat(s) - sCat^{2}(s)= 1,[/math]

или

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - sCat(s)}.[/math]

Подставив выражение для [math]Cat(s)[/math] из левой части равенства в правую часть того же равенства, получим

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - sCat(s)}}.[/math]

Подставляя вновь выражение для [math]Cat(s)[/math] в получившееся равенство и продолжая этот процесс, мы получаем представление для функции Каталана в виде непрерывной дроби:

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - \cfrac{s}{1 - \cdots}}}.[/math]

Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на [math]n[/math]-м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням [math]s[/math] будут совпадать с коэффициентами разложения функции [math]Cat(s)[/math] вплоть до члена [math]s^{n}[/math]. Заметим, что из-за наличия множителя [math]s[/math] в числителе очередной дроби, присоединяемой на [math](n + 1)[/math]-м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых [math]n[/math] коэффициентов в ее разложении. Например,

[math]\cfrac{1}{1 - s} = \boldsymbol{1 + s} + s^2 + s^3 + s^4 + \cdots,[/math]

[math]\cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - s}} = \boldsymbol{1 + s + 2s^2} + 4s^3 + 8s^4 + \cdots,[/math]

[math]\cfrac{1}{1 - \cfrac{s}{1 - \cfrac{s}{1 - s}}} = \boldsymbol{1 + s + 2s^2 + 5s^3} + 13s^4 + \cdots[/math]

Стабилизирующаяся часть разложения выделена.

Треугольник Дика

Треугольник Дика перечисляет пути в положительном квадранте плоскости, выходящие из начала координат и составленные из векторов [math](1, 1)[/math] и [math](1, −1)[/math].

R3.PNG

Изменим несколько треугольник Дика, поставив на стрелках числа. А именно, поставим на каждой стрелке номер того ряда, в котором она находится. Номер на стрелке мы будем интерпретировать как ее кратность, то есть как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь. То есть значение элемента треугольника, которому раньше соответствовал путь в точку плоскости [math](m;n)[/math], теперь равно следующему: [math]c_{m,n} = (n+1)c_{m-1,n+1}+nc_{m-1,n-1}[/math].

R6.PNG


Теорема:
Производящая функция [math]F_{0}(s) = 1 + s^2 + 5s^4 + 61s^6 + 1385s^8 + \cdots[/math] для нижней стороны треугольника Дика представляется в

виде непрерывной дроби

[math]F_{0}(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1^2s^{2}}{1 - \cfrac{2^2s^2}{1 - \cfrac{3^2s^2}{1 - \cdots}}}}.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Производящая функция [math]F_0(s)[/math] перечисляет различные пути с началом и концом на высоте [math]0[/math]. Обозначим через [math]F_i(s)[/math] производящую функцию, перечисляющую пути с началом и концом на высоте [math]i[/math], которые не опускаются ниже уровня [math]i[/math], по их длине. Тогда

[math]F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)}.[/math]

Действительно, каждый путь с началом и концом на высоте [math]0[/math] единственным образом разбивается на такие участки, что

  1. Концы пути на каждом участке лежат на высоте [math]0[/math].
  2. Высота всех промежуточных точек пути на каждом участке больше нуля.

Если отбросить начальный и конечный отрезок такого участка, то мы получим путь, начинающийся и заканчивающийся на высоте [math]1[/math]. Аналогично,

[math]F_1(s) = \cfrac{1}{1 - 4s^2F_2(s)}.[/math]

Появление четверки в коэффициенте при [math]s^2[/math] объясняется тем, что к данному пути, начало и конец которого лежат на высоте [math]2[/math], начальный и конечный векторы, превращающие его в путь на высоте [math]1[/math], можно добавить четырьмя «различными» способами. Продолжая это рассуждение, мы заключаем, что

[math]F_k(s) = \cfrac{1}{1 - (k+1)^2s^2F_{k+1}(s)},[/math]

и непрерывная дробь теперь выписывается очевидным образом:

[math]F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - 4s^2F_2(s)}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1s^{2}}{1 - \cfrac{4s^2}{1 - \cfrac{9s^2}{1 - \cdots}}}}.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации