|
|
| (не показано 7 промежуточных версий 2 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{В разработке}}
| + | #перенаправление [[Полином Жегалкина#Преобразование Мёбиуса]] |
| − | Пусть задана булева функция <tex>f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}</tex>. Любая булева функция представима в виде [[Полином_Жегалкина|полинома Жегалкина]], притом единственным образом. Пусть <tex> i = (i _{1}, i _{2}, .. i _{n}), \;\; i _{k} = \{0 ; 1\}</tex>, и введем обозначение <tex> x ^{i _{k}} \sim \left\{\begin{matrix} x, \;\; i _{k}=1
| |
| − | \\ 1, \;\; i _{k}=0
| |
| − | \end{matrix}\right. </tex>/ Тогда [[Полином_Жегалкина|полином Жегалкина]] можно записать как: <tex> f(x) = \bigoplus\limits_{i} \alpha _{i} \cdot x_{1}^{i_{1}} \cdot x_{2}^{i_{2}} \cdot ... \cdot x_{n}^{i_{n}}</tex>, где <tex>\alpha _{i} \in \{ 0; 1 \}</tex>.
| |
| − | | |
| − | {{Теорема
| |
| − | |statement=Тогда отображение <tex>f\rightarrow \alpha _{i} </tex> (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах [[Полином_Жегалкина|полинома Жегалкина]]) является: <tex>\alpha _{i} = \bigoplus \limits_{j\preceq i} f(j)</tex>.
| |
| − | ||proof=Докажем с помощью индукции по количеству единичек в векторе <tex> x </tex> ( иначе говоря, по сумме <tex>x_{1}+x_{2}+...+x_{n}</tex> ). <br/>
| |
| − | 1) База: если <tex> x = 0 </tex>, то, очевидно <tex> f(0) = \alpha _{0} </tex><br/>
| |
| − | 2) Пускай теорема справедлива для всех сумм <tex>x_{1}+x_{2}+...+x_{n} < k</tex>. Покажем, что в таком случае она верна и для <tex>x_{1}+x_{2}+...+x_{n} = k</tex>. По определению <tex> f </tex>, а далее по предположению индукции видим: <tex> f(x) = \bigoplus\limits_{i} \alpha _{i} \cdot x_{1}^{i_{1}} \cdot x_{2}^{i_{2}} \cdot ... \cdot x_{n}^{i_{n}} = </tex>
| |
| − | | |
| − | }}
| |
| − | Такое отображение также называется '''преобразованием Мёбиуса'''.
| |
| − | ----
| |
| − | <br/>
| |
| − | Множество коэффициентов <tex>\{\alpha _{i}\}</tex> можно рассматривать как функцию <tex>\alpha</tex>, заданной на множестве индексов <tex> i \in \overline{1..n}</tex>, то есть <tex>\alpha: i \mapsto \alpha_{i}</tex>.
| |
| − | | |
| − | Очевидно, функцию <tex> f </tex> можно записать и следующим образом: <tex> f(x) = \bigoplus \limits_{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; \text {if} \;\; i _{1}] \cdot [x _{2} , \; \text {if} \;\; i _{2}] \cdot ... \cdot [x _{n} , \; \text {if} \;\; i_{n}]</tex>.
| |
| − | | |
| − | Тут запись <tex>[x _{k} , \; \mbox {if} \; i _{k}]</tex> означает, что элелемент <tex> x_{k} </tex> присутствует в соответствующем члене полинома только если <tex> i_{k} = 1 </tex>.
| |
| − | Отсюда ясно, что <tex> f(x) = \bigoplus \limits_{i \preceq x} \alpha _{i} </tex>.
| |
| − | | |
| − | Таким образом, если применить '''преобразование Мёбиуса''' к функции, а затем вновь применить то же преобразование к получившейся функции, тогда вновь получим исходную функцию <tex>f</tex>. То есть '''преобразование Мёбиуса''' обратно самому себе.
| |
