Редактирование: Префикс-функция

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition = '''Префикс-функция''' ''(англ. prefix-function)'' от строки {{---}} массив длин наибольших [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордеров]] для каждой позиции этой строки}}
 
|definition = '''Префикс-функция''' ''(англ. prefix-function)'' от строки {{---}} массив длин наибольших [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордеров]] для каждой позиции этой строки}}
Здесь и далее считаем, что символы в строках нумеруются с <tex>0</tex>.
+
Здесь и далее считаем, что символы в строках нумеруются с <tex>1</tex>.
  
Определим префикс-функцию от строки <tex>s</tex> в позиции <tex>i</tex> следующим образом: <tex>\pi(s, i) = \max\limits_{k = 1 \ldots i} \{k : </tex> <tex>s[0 \ldots k - 1] = s[i - k + 1 \ldots i] \}</tex>. Если мы не нашли такого <tex>k</tex>, то <tex>\pi(s, i)=0</tex>.  
+
Определим префикс-функцию от строки <tex>s</tex> в позиции <tex>i</tex> следующим образом: <tex>\pi(s, i) = \max\limits_{k = 1..i - 1} \{k : </tex> <tex>s[1..k] = s[i - k + 1..i] \}</tex>. Если мы не нашли такого <tex>k</tex>, то <tex>\pi(s, i)=0</tex>.  
  
 
==Наивный алгоритм==
 
==Наивный алгоритм==
Наивный алгоритм вычисляет префикс-функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк. Обозначим длину строки за <tex>n</tex>. Будем считать, что префикс-функция хранится в массиве <tex> p </tex>.  
+
Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк. Обозначим длину строки за <tex>n</tex>.
  
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
  '''int'''[] prefixFunction('''string''' s):
+
  '''int'''[] prefixFunction('''string''' s)
      '''int'''[] p = '''int'''[s.length]
+
       fill(<tex>\pi</tex>, 0)
       fill(p, 0)
+
       '''for''' i = 1 '''to''' n
       '''for''' i = 0 '''to''' s.length - 1
+
           '''for''' k = 1 '''to''' i
           '''for''' k = 0 '''to''' i - 1
+
               '''if''' s[1..k] == s[i - k + 1..i]
               '''if''' s[0..k] == s[i - k..i]
+
                   <tex>\pi</tex>[i] = k
                   p[i] = k
+
       '''return''' <tex>\pi</tex>
       '''return''' p
 
  
 
===Пример===
 
===Пример===
Строка 43: Строка 42:
 
==Эффективный алгоритм==
 
==Эффективный алгоритм==
 
Вносятся несколько важных замечаний:
 
Вносятся несколько важных замечаний:
* Заметим, что <tex>p[i + 1] \leqslant p[i] + 1</tex>. Чтобы показать это, рассмотрим суффикс,оканчивающийся на позиции <tex>i + 1</tex> и имеющий длину <tex>p[i + 1]</tex>, удалив из него последний символ, мы получим суффикс, оканчивающийся на позиции <tex>i</tex> и имеющий длину <tex>p[i + 1] - 1</tex>, следовательно неравенство <tex>p[i + 1] > p[i] + 1</tex> неверно.
+
*Заметим, что <tex>\pi[i + 1] \leqslant \pi[i] + 1</tex>. Чтобы показать это, рассмотрим суффикс,оканчивающийся на позиции <tex>i + 1</tex> и имеющий длину <tex>\pi[i + 1]</tex>, удалив из него последний символ, мы получим суффикс, оканчивающийся на позиции <tex>i</tex> и имеющий длину <tex>\pi[i + 1] - 1</tex>, следовательно неравенство <tex>\pi[i + 1] > \pi[i] + 1</tex> неверно.
* Избавимся от явных сравнений строк. Пусть мы вычислили <tex>p[i]</tex>, тогда, если <tex>s[i + 1] = s[p[i]]</tex>, то <tex>p[i + 1] = p[i] + 1</tex>. Если окажется, что <tex>s[i + 1] \ne s[p[i]]</tex>, то нужно попытаться попробовать подстроку меньшей длины. Хотелось бы сразу перейти к такому [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордеру]] наибольшей длины, для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = p[i] - 1</tex>. Делаем это следующим образом. За исходное <tex>k</tex> необходимо взять <tex>p[i - 1]</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>p[k - 1]</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>p[i]=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>p[i]=0</tex>.
+
*Избавимся от явных сравнений строк. Пусть мы вычислили <tex>\pi[i]</tex>, тогда, если <tex>s[i + 1] = s[\pi[i]]</tex>, то <tex>\pi[i + 1] = \pi[i] + 1</tex>. Если окажется, что <tex>s[i + 1] \ne s[\pi[i]]</tex>, то нужно попытаться попробовать подстроку меньшей длины. Хотелось бы сразу перейти к такому [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордеру]] наибольшей длины, для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = \pi(i) - 1</tex>. Делаем это следующим образом. За исходное <tex>k</tex> необходимо взять <tex>\pi(i - 1)</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k+1]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>\pi(k)</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>\pi(i)=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>\pi(i)=0</tex>.
  
 
[[Файл:mprfx.jpg|800px]]
 
[[Файл:mprfx.jpg|800px]]
 
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
  '''int'''[] prefixFunction('''string''' s):
+
  '''int'''[] prefixFunction('''string''' s)
  p[0] = 0
+
      <tex>\pi</tex>[1] = 0
  '''for''' i = 1 '''to''' s.length - 1
+
      '''for''' i = 2 '''to''' n
      k = p[i - 1]
+
          k = <tex>\pi</tex>[i-1]
      '''while''' k > 0 '''and''' s[i] != s[k]
+
          '''while''' k > 0 '''and''' s[i] != s[k + 1]  
          k = p[k - 1]
+
              k = <tex>\pi</tex>[k]
      '''if''' s[i] == s[k]
+
          '''if''' s[i] == s[k + 1]
          k++
+
              k++
      p[i] = k
+
          <tex>\pi</tex>[i] = k
  '''return''' p
+
      '''return''' <tex>\pi</tex>
  
 
===Время работы===
 
===Время работы===
Строка 65: Строка 63:
 
== Построение префикс-функции по Z-функции==
 
== Построение префикс-функции по Z-функции==
 
=== Постановка задачи ===
 
=== Постановка задачи ===
Дан массив с корректной [[Z-функция | Z-функцией]] для строки <tex>s</tex>, получить за <tex>O(n)</tex> массив с префикс-функцией для строки <tex>s</tex>.
+
Дан массив с корректной <tex> z-</tex> функцией для строки <tex>s</tex>, получить за <tex>O(n)</tex> массив с префикс{{---}}функцией для строки <tex>s</tex>.
  
 
=== Описание алгоритма ===
 
=== Описание алгоритма ===
Пусть Z-функция хранится в массиве <tex>z[0 \ldots n-1]</tex>. Префикс-функцию будем записывать в массив <tex>p[0 \ldots n-1]</tex>.
+
Пусть <tex>Z-</tex> функция хранится в массиве <tex>z[1..n],</tex> префикс-функцию будем записывать в массив <tex>p[1..n]</tex>.
Заметим, что если <tex>z[i] > 0, </tex> то для всех элементов с индексом <tex>i + j</tex>, где <tex>0 \leqslant j < z[i] </tex>, значение <tex>p[i + j] </tex> будет не меньше, чем длина подстроки с <tex> i </tex> по <tex> i + j</tex>, что равно <tex>j + 1</tex> (как изображено на рисунке).  
+
Пойдем по массиву <tex>z</tex> слева направо, заметим, что если <tex>z[i] > 0, </tex> то для всех элементов с индексом <tex>i + j</tex>, где <tex>0 \leqslant j < z[i] </tex>  значение <tex>p[i + j] </tex> будет не меньше, чем длина подстроки с <tex> i </tex> по <tex> i + j</tex>, что равно <tex>j + 1</tex> (видно еще из рисунка). Также заметим, что если мы уже установили значение в какое-то <tex>p[k]</tex> то менять уже не нужно, так как если мы установили в <tex>j-</tex>ую позицию с позиции <tex>k</tex>, где <tex>k < i</tex>, то такое изменение только уменьшит значение <tex> p[j]</tex>. В итоге получаем алгоритм: идем слева направо по массиву <tex>z</tex> и пусть мы сейчас находимся на позиции <tex>i</tex>, тогда пытаемся записать в <tex>p</tex> от позиции <tex>i + z[i] - 1 </tex> до  <tex>i</tex> значение <tex> j - i + 1,</tex> где <tex>j</tex> пробегает все значения <tex> 0.. z[i] - 1</tex>. Теперь посчитаем асимптотику алгоритма. Каждый элементВ итоге каждый элемент в <tex>p</tex> будет просмотрен не более двух раз, то есть число операции будет не больше <tex> 2 \cdot n</tex> откуда получаем асимптотику <tex>O(n).</tex>
 
 
Также заметим, что если мы уже установили в какую-то позицию значение <tex> j </tex> с позиции <tex> i </tex>, а потом пытаемся установить значение <tex> j' </tex> c позиции <tex> i' </tex>, причём <tex> i < i' </tex> и <tex> i + j = i' + j' </tex>, то изменение с позиции <tex> i' </tex> только уменьшит значение <tex> p[i + j]</tex>. Действительно, значение после первого присвоения <tex>p[i + j] = j > j' = p[i' + j']</tex>. В итоге получаем алгоритм: идем слева направо по массиву <tex>z</tex> и, находясь на позиции <tex>i</tex>, пытаемся записать в <tex>p</tex> от позиции <tex>i + z[i] - 1 </tex> до  <tex>i</tex> значение <tex> j + 1,</tex> где <tex>j</tex> пробегает все значения <tex> 0 \dots z[i] - 1</tex>, пока не наткнемся на уже инициализированный элемент. Слева от него все значения тоже нет смысла обновлять, поэтому прерываем эту итерацию.
 
 
 
Убедимся, что алгоритм работает за линейное время (см. псевдокод). Каждый элемент устанавливается ровно один раз. Дальше на нем может случиться только <tex>\mathrm{break}</tex>. Поэтому в итоге внутренний цикл суммарно отработает за количество установленных значений и количество <tex>\mathrm{break}</tex>. Количество установленных значений {{---}} <tex> n</tex>. А число <tex>\mathrm{break}</tex> тоже будет не больше <tex>n</tex>, так как каждый <tex>\mathrm{break}</tex> переводит внешний цикл на следующую итерацию, откуда получаем итоговую асимптотику <tex>O(n)</tex>.
 
  
 
[[Файл:ZP4.jpg|800px]]
 
[[Файл:ZP4.jpg|800px]]
  
 
=== Псевдокод ===
 
=== Псевдокод ===
  '''int'''[] buildPrefixFunctionFromZFunction('''int'''[] z):
+
  '''int'''[] buildPrefixFunctionFromZFunction('''int'''[] z)
   '''int'''[] p = '''int'''[z.length]
+
   '''int'''[] p = '''new int'''[z.length]
  fill(p, 0)
+
   '''for''' i = 2 '''to''' z.length - 1
   '''for''' i = 1 '''to''' z.length - 1
 
 
     '''for''' j = z[i] - 1 '''downto''' 0
 
     '''for''' j = z[i] - 1 '''downto''' 0
 
       '''if''' p[i + j] > 0  
 
       '''if''' p[i + j] > 0  
Строка 88: Строка 81:
 
         p[i + j] = j + 1
 
         p[i + j] = j + 1
 
   '''return''' p
 
   '''return''' p
 +
 +
=== Доказательство корректности ===
 +
Пусть наш алгоритм неправильно посчитал какие-то значение  <tex>p[i]</tex>. Пусть <tex> ans[1..n]</tex> это массив, содержащий корректную префикс-функцию. Рассмотрим позицию в которой наш алгоритм посчитал некорректно, пусть это позиция <tex>i</tex>. Заметим, что <tex>ans[i]\geqslant p[i]</tex> так как алгоритм записывает длину подстроки, оканчивающуюся на <tex>i-</tex>ом символе, соответственно правильный ответ, не может быть меньше нашего. Предположим, что <tex>ans[i] > p[i], </tex> посмотрим на значение <tex>z[i - ans[i] + 1]</tex> оно больше либо равно <tex>ans[i]</tex>. Но тогда наш алгоритм бы записал в <tex> p[i]</tex> корректное значение.
  
 
==Построение строки по префикс-функции==
 
==Построение строки по префикс-функции==
Строка 94: Строка 90:
  
 
===Описание алгоритма===
 
===Описание алгоритма===
 +
 
Пусть в массиве <tex>p</tex> хранятся значения префикс-функции, в <tex>s</tex> будет записан ответ. Пойдем по массиву <tex>p</tex> слева направо.
 
Пусть в массиве <tex>p</tex> хранятся значения префикс-функции, в <tex>s</tex> будет записан ответ. Пойдем по массиву <tex>p</tex> слева направо.
  
Пусть мы хотим узнать значение <tex>s[i]</tex>. Для этого посмотрим на значение <tex>p[i]</tex>: если <tex>p[i] =0</tex>, тогда в <tex>s[i]</tex> запишем новый символ, иначе <tex>s[i] = s[p[i] - 1]</tex>. Обратим внимание, что  <tex>s[p[i] - 1]</tex> нам уже известно, так как <tex>p[i] - 1 < i</tex>.
+
Пусть мы хотим узнать значение <tex>s[i]</tex>. Для этого посмотрим на значение <tex>p[i]</tex>: если <tex>p[i] =0</tex> тогда в <tex>s[i]</tex> запишем новый символ, иначе <tex>s[i] = s[p[i]]</tex>. Обратим внимание, что  <tex>s[p[i]]</tex> нам уже известно, так как <tex>p[i] < i</tex>.
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
Строка 105: Строка 102:
 
           s += new character
 
           s += new character
 
       '''else'''
 
       '''else'''
           s += s[p[i] - 1]
+
           s += s[p[i]]
 
   '''return''' s
 
   '''return''' s
  
Строка 111: Строка 108:
 
Докажем, что если нам дали корректную префикс-функцию, то наш алгоритм построит строку с такой же префикс-функцией. Также заметим, что строк с такой префикс-функцией может быть много, и алгоритм строит только одну из них.
 
Докажем, что если нам дали корректную префикс-функцию, то наш алгоритм построит строку с такой же префикс-функцией. Также заметим, что строк с такой префикс-функцией может быть много, и алгоритм строит только одну из них.
  
Пусть <tex>p</tex> {{---}} данная префикс-функция, строку <tex>s</tex> построил наш алгоритм, <tex> q </tex> {{---}} массив значений префикс-функции для <tex>s</tex>.
+
Пусть <tex>p</tex> данная префикс-функция, <tex>s'</tex> правильная строка, строку <tex>s</tex> построил наш алгоритм, <tex> q </tex> массив значений префикс-функции для <tex>s</tex>.
  
 
Докажем корректность индукцией по длине массива префикс-функции полученной строки. Для начала заметим, что на предыдущие значения массива <tex> q </tex> прибавление нового символа не влияет, так как при подсчёте префикс-функции на <tex> i </tex>-ой позиции рассматриваются символы на позициях не больше <tex> i </tex>. Поэтому достаточно показать, что очередное значение префикс-функции будет вычислено правильно.
 
Докажем корректность индукцией по длине массива префикс-функции полученной строки. Для начала заметим, что на предыдущие значения массива <tex> q </tex> прибавление нового символа не влияет, так как при подсчёте префикс-функции на <tex> i </tex>-ой позиции рассматриваются символы на позициях не больше <tex> i </tex>. Поэтому достаточно показать, что очередное значение префикс-функции будет вычислено правильно.
 
* База очевидна для строки длины <tex>1</tex>.
 
* База очевидна для строки длины <tex>1</tex>.
* Переход: пусть до <tex>n</tex>-ой позиции мы построили строку, что <tex>p[0 \ldots n - 1] = q[0 \ldots n - 1]</tex>. Возможны два случая:
+
* Переход: пусть до <tex>n</tex>-ой позиции мы построили строку, что <tex>p[1..n - 1] = q[1..n - 1]</tex>. Возможны два случая:
 
**  <tex>p[n] = 0</tex>. Тогда мы добавляем новый символ, поэтому <tex>q[n]</tex> тоже будет равно <tex>0</tex>.  
 
**  <tex>p[n] = 0</tex>. Тогда мы добавляем новый символ, поэтому <tex>q[n]</tex> тоже будет равно <tex>0</tex>.  
** <tex>p[n] > 0</tex>. Бордер строки <tex> s[0 \ldots n - 1] </tex> имеет длину <tex> p[n-1] = q[n-1] </tex>. Поэтому если дописать к строке <tex> s </tex> символ <tex> s[q[n] - 1] </tex>, то бордер нашей новой строки <tex> s[0 \ldots n] </tex> станет равен <tex> p[n] </tex>, как можно увидеть на [[Префикс-функция#Эффективный алгоритм | рисунке]].
+
** <tex>p[n] > 0</tex>. По свойствам префикс-функции <tex> s'[p[n]] = s'[n] </tex> {{---}} суффикс и префикс строки <tex> s' </tex> длины <tex> p[n] </tex> продолжаются одним символом, значит, надо на текущую позицию строки <tex> s </tex> поставить символ <tex> s[p[n]] </tex>. Если значение префикс-функции увеличивается, значит, текущим символом продолжается префикс длины <tex> p[n - 1] </tex>, а из свойств следует, что <tex> p[n - 1] \geqslant p[n] - 1 </tex>. По предположению индукцию значение <tex> q[n - 1] </tex> будет вычислено верно. А если значение префикс-функции не увеличивается, значит, символ <tex> s[n] </tex> должен продолжить префикс меньшей длины, а в текущее значение префикс-функции запишется как раз длина нового [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордера]]. Для этого будут использованы значения префикс-функции с меньшими индексами, которые посчитаны верно, опять же по предположению индукции.
 
 
== Критерий корректности значений префикс-функции ==
 
{{Задача
 
|definition = Дан массив значений префикс-функции некоторой строки <tex>s</tex>, необходимо проверить, корректен ли он за <tex>O(|s|)</tex>. Так же узнать размер минимального алфавита, при котором он корректен.
 
}}
 
 
 
=== Решение ===
 
Если выполняется неравенство <tex>0 \leqslant p[i + 1] \leqslant p[i] + 1</tex>, то мы можем построить строку из алгоритма выше, значит префикс-функция корректна.
 
 
 
Найдем минимальный алфавит, при котором префикс-функция корректна. Если значение префикс-функции в текущей ячейке больше нуля, буква известна и алфавит не нуждается в добавлении новой буквы. Иначе, необходимо исключить все ранее известные буквы, возвращаясь и проверяя для меньших префиксов. Если все уже известные буквы использованы, понятно что, необходимо добавить новую букву.
 
  
=== Доказательство корректности ===
 
Докажем, что найденнный выше алфавит минимален от противного. Допустим, существует строка, использующая алфавит меньшей мощности. Рассмотрим первое вхождение буквы, которая есть в нашем алфавите, а в их отсутствует. Понятно, что для этого символа префикс-функция равна 0, т.к. мы добавили новую букву. Пройдемся циклом <tex>\mathrm{while}</tex> по подпрефиксам. Т.к. в меньшем решении буква не новая, то она увеличит подпрефикс и префикс-функция в новой строке будет отличаться от нуля в этом символе, а должна равняться нулю. Противоречие, следовательно не существует алфаивта меньшей мощности, чем найденный алгоритмом выше.
 
 
=== Псевдокод ===
 
'''bool''' is_correct('''int'''[] p):
 
  '''for''' i = 0 '''to''' p.length - 1
 
      '''if''' i > 0 && p[i] > p[i - 1] + 1 || p[i] < 0
 
          '''return''' '''false'''         
 
  '''return''' '''true'''
 
  
'''int''' minimal_alphabet('''int'''[] p):
 
  c = 1
 
  s[0] = 0
 
  '''for''' i = 1 '''to''' p.length - 1
 
        '''if''' p[i] == 0
 
          '''fill'''(used, false)
 
          k = p[i - 1]             
 
          '''while''' k > 0
 
              used[s[k]] = '''true'''
 
              k = p[k - 1]
 
          s[i] = -1
 
          '''for''' j = 1 '''to''' c
 
              '''if''' !used[j]
 
                  s[i] = j;
 
                  '''break'''
 
          '''if''' s[i] == -1
 
              s[i] = c++ 
 
        '''else'''
 
          s[i] = s[p[i] - 1]                   
 
  '''return''' c
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
Строка 165: Строка 123:
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
*[[wikipedia:ru:Префикс-функция | Википедия {{---}} Префикс-функция]]
 
*[[wikipedia:ru:Префикс-функция | Википедия {{---}} Префикс-функция]]
*[http://e-maxx.ru/algo/prefix_function MAXimal :: algo :: Префикс-функция]
+
*[http://e-maxx.ru/algo/prefix_function MAXimal :: algo {{---}} Префикс-функция]
 
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296 ISBN 978-5-8459-0857-5
 
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296 ISBN 978-5-8459-0857-5
  
Строка 171: Строка 129:
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
 
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
[[Категория:Точный поиск]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: