Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Материал из Викиконспекты
Версия от 08:36, 2 ноября 2011; Vincent (обсуждение | вклад) (Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах)
Перейти к: навигация, поиск

Определение

Определение:
Грамматикой в ослабленной нормальной форме Грейбах (Greibach weaked normal form) называется контекстно-свободная грамматика, в которой могут содержатся правила только следующего вида:

[math] A \rightarrow a\gamma [/math],

[math] S \rightarrow \varepsilon [/math],

где [math] a [/math] — терминал, [math] A [/math] — нетерминал, [math] S [/math] — стартовая вершина, [math] \varepsilon [/math] — пустая строка, [math] \gamma [/math] — строка из произвольного количества терминалов и нетерминалов, стартовая вершина не содержится в правых частях правил.


Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Теорема:
Любую контекстно-свободную грамматику можно привести к ослабленной нормальной форме Грейбах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
АРВАВ
[math]\triangleleft[/math]

Приведем алгоритм, позволяющий для к.с. грамматики без ε-правил построить эквивалентную ей к.с. грамматику (без ε-правил), содержащую только правила вида [math]A \rightarrow a \alpha[/math].

Произвольную грамматику [math]\Gamma[/math] можно привести к требуемой форме следующим образом:

  1. Воспользоваться алгоритмом удаления ε-правил. Получим грамматику без ε-правил для языка [math]L(\Gamma) \setminus \lbrace \epsilon \rbrace[/math]
  2. Воспользоваться алгоритмом для новой грамматики
  3. Если [math]\epsilon[/math] присутствовал в языке исходной грамматики, добавить новый начальный символ [math]S'[/math] и правила [math]S' \rightarrow S \, | \, \epsilon [/math]

Алгоритм для грамматики без ε-правил

Первым делом, используем алгоритм устранения левой рекурсии. После этого все правила грамматики будут иметь вид

  • [math]A_i \rightarrow a \alpha [/math], где [math]\alpha[/math] - терминал
  • [math]A_i \rightarrow A_j \alpha [/math], где [math]i \lt j[/math]

Затем проведем процедуру, похожую на используемую при устранении левой рекурсии:

for i = n downto 1 {
for j = n downto i + 1 {
  • рассмотреть все правила вывода из [math]A_j[/math]
[math]A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k[/math]
  • заменить каждое правило [math]A_i \rightarrow A_j \gamma[/math] на
[math]A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma[/math]
}
}

Легко видеть, что после итерации главного цикла для значения [math]i[/math] все правила для [math]A_k, \, k \ge i[/math] будут иметь вид [math]A_k \rightarrow a \alpha[/math].

Следовательно, после применения процедуры все правила грамматики будут иметь вид [math]A \rightarrow a \alpha[/math].