Редактирование: Примеры матроидов

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
==Разноцветный матроид==
+
==Матричный матроид==
 
{{Определение
 
{{Определение
|id = def1
+
|definition=
|definition =  
+
Пусть <tex>V</tex> — векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \mathcal{f} v_1,\dots,v_n\mathcal {g}</tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно-независимых векторов из набора <tex>v_ 1,\dots,v_n</tex>.
Пусть <tex>X</tex> {{---}} множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество <tex>A \in I</tex>, если все элементы множества <tex>A</tex> разного цвета. Тогда <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> называется '''разноцветным матроидом''' (англ. ''multicolored matroid'').
+
Тогда <tex>M = \langle V_i, I \rangle </tex>, называется '''матричным матроидом (vector matroid)'''
}}
+
}}  
 +
{{Лемма
 +
|statement = Матричный матроид является матроидом.
 +
|proof =
 +
Проверим выполнение аксиом независимости:
 +
 
 +
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
 +
 
 +
Множество в котором нет векторов является линейно-независимым.
  
{{Утверждение
+
2) <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
|statement = Разноцветный матроид является матроидом.
 
|proof =
 
Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>.
 
  
# <tex>\varnothing \in I</tex>
+
Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым.
#:В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов.
 
# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
 
#:Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться.
 
# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
 
#:В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
 
}}
 
  
==Универсальный матроид==
+
3) <tex>A \in I, B \in I, \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
{{Определение
 
|id = def2
 
|definition=
 
'''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект <tex>U_{nk} = \langle X, I \rangle </tex>, где <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \{A \subset X \mid \left\vert A \right\vert \leqslant k\}</tex>
 
}}
 
  
{{Утверждение
+
Так как <tex>A \in I,</tex> то <tex>dim \mathcal{L}(A) = \left\vert A \right\vert</tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B: x \notin \mathcal{L}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin A</tex>. Тогда <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки.
|statement = Универсальный матроид является матроидом.
 
|proof =
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
 
  
# <tex>\varnothing \in I</tex>
 
#:<tex> \left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I</tex>
 
# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
 
#:<tex> \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert A \right\vert \leqslant  k \Rightarrow A \in I </tex>
 
# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
#:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in B </tex>, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>.
 
#:Рассмотрим <tex> A \cup \{ x \mathcal \} </tex>. <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert  \Rightarrow  \left\vert A \cup \{ x \} \right\vert = \left\vert A \right\vert + 1 \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k  \Rightarrow  A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 43: Строка 27:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом''' (англ. ''graphic matroid'').
+
Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом (graphic matroid)'''.
 
}}
 
}}
 
+
{{Лемма
{{Утверждение
 
 
|statement = Графовый матроид является матроидом.
 
|statement = Графовый матроид является матроидом.
 
|proof =
 
|proof =
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
  
# <tex>\varnothing \in I</tex>
+
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
#:Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.
+
 
# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
+
Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.
#:Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности.
+
 
# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
+
2) <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
#:В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.
+
 
#:Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности <tex>Q</tex> из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим  <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.
+
Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности.
}}
+
 
 +
3) <tex>A \in I, B \in I, \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
 +
 
 +
В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.
  
==Матричный матроид==
+
Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим  <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.
{{Определение
 
|definition=
 
Пусть <tex>V</tex> {{---}} векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \mathcal{f} v_1, \ \dots, \ v_n\mathcal {g}</tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно независимых векторов из набора <tex>v_ 1, \ \dots, \ v_n</tex>.
 
Тогда <tex>M = \langle V_i, I \rangle </tex>, называется '''матричным матроидом''' (англ. ''vector matroid'')
 
}}
 
 
{{Утверждение
 
|statement = Матричный матроид является матроидом.
 
|proof =
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
 
  
# <tex>\varnothing \in I</tex>
 
#:Множество в котором нет векторов является линейно-независимым.
 
# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
 
#:Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым.
 
# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
#:Так как <tex>A \in I</tex>, то <tex>\dim \mathcal{L}(A) = \left\vert A \right\vert</tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B: x \notin \mathcal{L}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin A</tex>. Тогда множество <tex> A \cup \{ x \} </tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 83: Строка 53:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>G = \langle X, Y, E \rangle</tex> {{---}} двудольный граф. <tex>I = \mathcal{f} A \subset X \mid \exists </tex> паросочетание <tex> P</tex>, покрывающее <tex>A \mathcal {g} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''трансверсальным матроидом''' (англ. ''transversal matroid'').
+
Пусть <tex>G = \langle X, Y, E \rangle</tex> двудольный граф. <tex>I = \mathcal{f} A \subset X \mid \exists </tex> паросочетание <tex> P</tex>, покрывающее <tex>A \mathcal {g} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''трансверсальным матроидом (transversal matroid).'''
 
}}
 
}}
  
{{Утверждение
+
{{Лемма
 
|statement = Трансверсальный матроид является матроидом.
 
|statement = Трансверсальный матроид является матроидом.
 
|proof =
 
|proof =
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
  
# <tex>\varnothing \in I</tex>
+
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
#:Пустое паросочетание удовлетворяет условию.
 
# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
 
#:Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex> A \in I </tex>.
 
# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
#:Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> {{---}} в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert </tex> ребер синего цвета, <tex> \left\vert A \setminus B \right\vert </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>.
 
#:Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам {{---}} синему и красному, либо одному {{---}} синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \{ x \} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \{ x \} \in I</tex>.
 
}}
 
  
==Матроид паросочетаний==
+
Пустое паросочетание удовлетворяет условию.
{{Определение
 
|definition=
 
Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. <tex>I = \{ A \subset V \mid \exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>, покрывающее <tex>A \}</tex>. Тогда <tex>M = \langle V, I \rangle </tex> называют '''матроидом паросочетаний''' (англ. ''matching matroid'').
 
}}
 
  
{{Утверждение
+
2) <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
|statement = Матроид паросочетаний является матроидом.
 
|proof =
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
 
  
# <tex>\varnothing \in I</tex>
+
Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex> A \in I </tex>.
#:Пустое паросочетание удовлетворяет условию.
 
# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
 
#:Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex>A \in I</tex>.
 
# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
#:Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>A</tex>, <tex>P_B</tex> {{---}} множество <tex>B</tex>.
 
#:Все вершины, принадлежащие <tex>A \cap B</tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>.
 
#:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B \setminus A</tex>
 
#:Рассмотрим три возможных случая:
 
## <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
## <tex>\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A</tex>. Мы можем добавить в <tex>A</tex> вершину <tex>x</tex> (или <tex>y</tex>), а в <tex>P_A</tex> ребро <tex>xy</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
## Если первые два случая не выполнились, значит <tex>\forall x \in B \setminus A</tex>  <tex>\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex> 
 
}}
 
  
==Матроид разбиений==
+
3) <tex>A \in I, B \in I, \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
{{Определение
 
|definition=
 
Пусть <tex>X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i</tex>, при этом <tex> X_i \cap X_j = 0</tex>, <tex>\forall i \neq j</tex>, и <tex>k_1 \dots k_n</tex> {{---}} положительные целые числа. <tex>I = \{ A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \ \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''матроидом разбиений''' (англ. ''partition matroid'')
 
}}
 
 
 
{{Утверждение
 
|statement = Матроид разбиений является матроидом.
 
|proof =
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
 
  
# <tex>\varnothing \in I</tex>
+
Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> — в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert </tex> ребер синего цвета, <tex> \left\vert A \setminus B \right\vert </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам — синему и красному, либо одному — синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>.
#:<tex>\left\vert \varnothing \cap X_i \right\vert = 0 \leqslant k_i \Rightarrow \varnothing \in I</tex>
 
# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
 
#:<tex>A \subset B, \ \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant \left\vert B \cap X_i \right\vert \leqslant k_i \Rightarrow A \in I</tex>
 
# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
#:Пусть <tex>\forall x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \notin I \Rightarrow \exists X_j, \ k_j: \left\vert A \cup \{ x \} \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но так как  <tex>A \in I</tex>, то есть <tex> \left\vert A \cap X_j \right\vert \leqslant k_j \Rightarrow \left\vert A \cap X_j \right\vert = k_j</tex> и <tex>x \in X_j</tex>. Из последнего следует, что <tex>\left\vert B \setminus A \right\vert \subset X_j</tex>.
 
#:<tex>\left\vert A \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (B \setminus A)) \cap X_j \right\vert = k_j</tex>, а <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (A \setminus B)) \cap X_j \right\vert</tex>. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \setminus B \right\vert < \left\vert B \setminus A \right\vert</tex>, тогда <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но <tex>B \in I</tex>, противоречие.  
 
 
}}
 
}}
  
==Бинарный матроид==
+
==Универсальный матроид==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Матроид <tex>M</tex> '''представим над полем <tex>F</tex>''', если он [[Определение матроида#def5| изоморфен]] некоторому векторному матроиду над этим полем.
+
'''Универсальным матроидом (uniform matroid)''' называют объект <tex>U_n,_k = \langle X, I \rangle </tex>, где <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \mathcal{f} A \subset X \mid \left\vert A \right\vert \leqslant k\}</tex>
 
}}
 
}}
  
{{Определение
+
{{Лемма
|definition=
+
|statement = Универсальный матроид является матроидом.
'''Бинарный матроид''' (англ. ''binary matroid'') {{---}} матроид, представимый над полем целых чисел по модулю <tex>2</tex>.
+
|proof =
}}
+
Проверим выполнение аксиом независимости:
  
{{Утверждение
+
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
|statement = Графовый матроид является бинарным.
 
|proof =
 
  
Составим матрицу инцидентности <tex>A = (a_{ij})</tex> для графа <tex>G = \langle V, E \rangle</tex>. Строки этой матрицы соответствуют вершинам графа, а столбцы {{---}} ребрам.
+
<tex> \left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I</tex>
* Если <tex>j</tex>-ое ребро есть петля, инцидентная <tex>i</tex>-ой вершине, то <tex>a_{ij} = 0</tex>.
 
* Если <tex>i</tex>-ая вершина инцидентна <tex>j</tex>-ому ребру, то  <tex>a_{ij} = 1</tex>
 
* Иначе  <tex>a_{ij} = 0</tex>
 
Необходимо доказать, что если мы возьмем множество ребер <tex>A \in I</tex>, то множество столбцов матрицы инцидентности, соответствующее выбранным ребрам, линейно-независимо, и наоборот, если мы возьмем линейно-независимое множество столбцов, то соответствующее ему множество ребер, не будет образовывать цикла. Докажем эквивалентное утверждение: столбцы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа <tex>G</tex> содержат цикл.
 
  
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть столбцы линейно-зависимы, докажем, что соответствующие ребра графа содержат цикл.
+
2) <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
  
Если некоторые столбцы матрицы <tex>A</tex> линейно-зависимы, то среди них можно выделить столбцы с нулевой суммой. Есть два варианта:
+
<tex> \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert A \right\vert \leqslant  k \Rightarrow A \in I </tex>
  
# Cреди выбранных столбцов есть нулевой, тогда в соответствующем множестве ребер есть петля, то есть цикл.
+
3) <tex>A \in I, B \in I, \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
# У нас есть столбец <tex>S</tex>, который является суммой остальных столбцов.  Этому столбцу соответствует ребро <tex>uv</tex>. Начнем с вершины <tex>u</tex> переходить по другим ребрам из <tex>R \setminus uv</tex> (по каждому ребру проходим только один раз), в итоге мы придем в вершину <tex>v</tex>, так для остальных вершин у нас обязательно будет четное число выходящих из них ребер, потому что иначе на позиции этой вершины в столбце <tex>S</tex> была бы единица (а единицы у нас только на позициях <tex>u</tex> и <tex>v</tex>). Таким образом мы показали, что существует два пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> (тот который мы построили и путь по ребру <tex>uv</tex>), значит в выбранном множестве ребер есть цикл.
 
  
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть на множестве ребер есть цикл, докажем линейную-зависимость соответствующих столбцов.
+
Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in B </tex>, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>.
 +
Рассмотрим <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>. <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert  \Rightarrow  \left\vert A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \right\vert = \left\vert A \right\vert + 1 \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k  \Rightarrow  A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
  
Если среди данного множества ребер есть петля, то соответствующий ей столбец будет нулевым (по построению матрицы инцидентности), он и обеспечивает линейную-зависимость всего набора векторов.
 
Если петли нет, то рассмотрим столбцы, отвечающие ребрам простого цикла. Любая строка матрицы <tex>A</tex> содержит в этих столбцах ровно 2 единицы. Поэтому сумма по модулю <tex>2</tex> указанных столбцов равна нулевому столбцу, что означает линейную зависимость исходного множества столбцов.
 
}}
 
 
==Другие матроиды==
 
Несложно доказать, что следующие конструкции тоже являются матроидами.
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Матроид с выкинутым элементом'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M\setminus x = \langle X \setminus x, \ \{A \mid A \in I, \ x \not\in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex> получившаяся конструкция <tex>M\setminus x</tex> является матроидом.
 
}}
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Матроид, стянутый по элементу'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M/x = \langle X \setminus x, \ \{A \setminus x \mid A \in I, \ x \in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex>, таких что <tex>\{x\}\in I,</tex> получившаяся конструкция <tex>M/x</tex> является матроидом.
 
}}
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид. Обозначим как <tex>M|_k</tex> следующую констркуцию: <tex>M|_k = \langle X, \ \{A \mid A \in I, |A| \leqslant k \}\rangle</tex>, тогда <tex>M|_k</tex> называют '''урезанным матроидом'''.
 
}}
 
 
{{Определение
 
|definition='''Полный матроид''' {{---}} матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> такой, что <tex>\mathcal{I} = 2^X</tex>.
 
}}
 
 
{{Определение
 
|definition= '''Тривиальный матроид''' {{---}} матроид  <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> такой, что <tex>\mathcal{I} = \varnothing </tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 210: Строка 106:
  
 
==Источники==
 
==Источники==
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
+
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
* Уилсон Р. {{---}} Введение в теорию графов (глава 9. Теория матроидов)  
 
 
* [http://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture14.pdf Примеры матроидов]
 
* [http://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture14.pdf Примеры матроидов]
 
*[[wikipedia:Matroid | Wikipedia {{---}} Matroid]]
 
*[[wikipedia:Matroid | Wikipedia {{---}} Matroid]]
 
*[[wikipedia:ru:Матроид | Википедия {{---}} Матроид]]
 
*[[wikipedia:ru:Матроид | Википедия {{---}} Матроид]]
  
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
+
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Матроиды]]
+
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория: Основные факты теории матроидов]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)