Редактирование: Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ

{{Определение
|definition = '''Полусистема Туэ''' ('''ассоциативное исчисление''') (англ. ''semi-Thue system'') {{---}} это формальная система, определяемая алфавитом <tex>A</tex>
и конечным множеством подстановок вида  <tex>\alpha_i\rightarrow \beta_i</tex>, где   <tex>\alpha_i, \beta_i</tex> — слова из <tex>A</tex>. 
}}

Подстановка <tex>\alpha_i\rightarrow \beta_i</tex> интерпретируется как правило вывода <tex>R_i</tex> следующим образом:
<tex>\gamma \vDash \delta</tex> по <tex>R_i</tex> , если слово <tex>\delta</tex> получается путем подстановки <tex>\beta_i</tex> вместо какого-то вхождения <tex>\alpha_i</tex> в <tex>\gamma</tex>.

Вывод <tex>\beta</tex> из <tex>\alpha</tex> — цепочка <tex>\alpha\vDash\epsilon_1\vDash\epsilon_2\vDash \ldots \vdash\beta</tex>, где каждое <tex>\epsilon_j</tex> получается из <tex>\epsilon_{j-1}</tex> некоторой подстановкой.

{{Теорема
|id=th1
|statement= 
   В полусистеме Туэ задача вывода из слова <tex>\alpha </tex> слово <tex> \beta</tex> (англ. ''word problem for semi-Thue systems'') неразрешима.
|proof=
[[m-сводимость|Сведем]] неразрешимую задачу проблемы останова<ref>Пример использования [[Теорема_о_рекурсии|теоремы о рекурсии]]</ref> к нашей. Для этого построим по структуре данной из проблемы останова [[Машина Тьюринга|МТ]] полусистему Туэ. Пусть <tex> q_1 </tex> {{---}} стартовое состояние, <tex> q_n </tex> {{---}} допускающее состояние МТ. Для построение искомой полусистемы будем описывать текущее состояние МТ с помощью строки <tex> \langle xqy\rangle </tex> , где <tex> q </tex> {{---}} текущее состояние автомата, <tex> xy </tex> {{---}} строка, записанная на ленте, <tex> \langle</tex> и <tex>\rangle </tex> {{---}} маркера начала и конца строки соответственно. Пусть <tex> s </tex> {{---}} последний символ строки <tex> x </tex>, а <tex> t </tex> {{---}} первый символ строки <tex> y </tex>. При этом головка указывает на символ <tex> t </tex>.  Тогда текущий шаг МТ можно описать с помощью следующих преобразований строк:

<tex>
 sqt \rightarrow 
  \begin{cases}
   q'st' & \text{if } \leftarrow \\ 
sq't'       & \text{if } \downarrow \\ 
st'q'       & \text{if } \rightarrow
  \end{cases}
</tex>

В силу конечности множеств состояний автомата (<tex> Q </tex>) и алфавита (<tex> T </tex>) добавим все подобные правила (представленные выше) в нашу полусистему. Заметим, что в МТ лента у нас бесконечна. Поэтому добавим в нашу систему следующие правила, которые будут эмулировать расширение слова на ленте за счет сдвига маркеров (прим. B {{---}} пустой символ ленты) :

<tex>q \rangle \rightarrow qB \rangle </tex> и <tex>\langle q \rightarrow \langle Bq </tex> для <tex> \forall q \in Q \setminus \{q_n\}</tex> 

И наконец добавим в наш набор те правила, которые позволят нам из конфигурации, в которой присутствует допускающее состояние <tex> q_n </tex>, получить уникальное слово. Это необходимо, чтобы мы смогли  построить критерий в терминах полуситсемы Туэ того, что из стартовой конфигураций наша программа корректно завершается. При этом пусть это уникальное слово имеет вид <tex> \langle w \rangle </tex>, где <tex> w \notin T </tex>. Таким образом, имеем следующие правила:

<tex>q_n c \rightarrow  q_n </tex> для <tex> \forall c \in T</tex>

<tex>q_n \rangle \rightarrow w \rangle </tex>

<tex> c w \rightarrow w </tex> для <tex> \forall c \in T</tex>.

Имея этот набор правил можем составить упомянутый выше критерий: программа корректно завершиться на данном на ленте входном слове <tex> u </tex>, если в построенной полусистеме <tex> \langle q_1u \rangle \vDash ^* \langle w \rangle </tex>. Таким образом из разрешимости этой задачи следовала бы разрешимость задачи останова. Соответсвенно задача о выводе в полусистеме Туэ алгоритмически неразрешима.
}}

== См. также ==
* [[m-сводимость]]
* [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста | Проблема соответствий Поста]]
* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении | Задача о замощении]]
* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]

==Примечания==
<references/>

== Источники информации==
* [[wikipedia:Semi-Thue_system | Wikipedia {{---}} Semi-Thue system]]
*[http://problem24.wordpress.com/2011/07/07/lecture-on-undecidability-7-the-word-problem-for-thue-systems Undecidability of the word problem for semi-Thue systems ]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]