Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 9 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =  
+
|definition = '''Полусистема Туэ''' ('''ассоциативное исчисление''') (англ. ''semi-Thue system'') {{---}} это формальная система, определяемая алфавитом <tex>A</tex>
'''Полусистема Туэ (semi-Thue system)''' {{---}} это формальная система, определяемая алфавитом <tex>A</tex>
+
и конечным множеством подстановок вида  <tex>\alpha_i\rightarrow \beta_i</tex>, где  <tex>\alpha_i, \beta_i</tex> слова из <tex>A</tex>.  
и конечным множеством подстановок вида  <tex>\alpha_i\rightarrow \beta_i</tex>, где  <tex>\alpha_i, \beta_i</tex> - слова из <tex>A</tex>.  
 
 
}}
 
}}
  
Строка 8: Строка 7:
 
<tex>\gamma \vDash \delta</tex> по <tex>R_i</tex> , если слово <tex>\delta</tex> получается путем подстановки <tex>\beta_i</tex> вместо какого-то вхождения <tex>\alpha_i</tex> в <tex>\gamma</tex>.
 
<tex>\gamma \vDash \delta</tex> по <tex>R_i</tex> , если слово <tex>\delta</tex> получается путем подстановки <tex>\beta_i</tex> вместо какого-то вхождения <tex>\alpha_i</tex> в <tex>\gamma</tex>.
  
Вывод <tex>\beta</tex> из <tex>\alpha</tex> - цепочка <tex>\alpha\vDash\epsilon_1\vDash\epsilon_2\vDash .. \vdash\beta</tex>, где каждое <tex>\epsilon_j</tex> получается из <tex>\epsilon_{j-1}</tex> некоторой подстановкой.
+
Вывод <tex>\beta</tex> из <tex>\alpha</tex> цепочка <tex>\alpha\vDash\epsilon_1\vDash\epsilon_2\vDash \ldots \vdash\beta</tex>, где каждое <tex>\epsilon_j</tex> получается из <tex>\epsilon_{j-1}</tex> некоторой подстановкой.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1
 
|id=th1
 
|statement=  
 
|statement=  
   В полусистеме Туэ задача вывода из слова <tex>\alpha </tex> слово <tex> \beta</tex> (word problem for semi-Thue systems) неразрешима.
+
   В полусистеме Туэ задача вывода из слова <tex>\alpha </tex> слово <tex> \beta</tex> (англ. ''word problem for semi-Thue systems'') неразрешима.
 
|proof=
 
|proof=
Сведем (прим. [[m-сводимость]]) неразрешимую задачу проблемы останова (прим. приведена в примере использования [[Теорема_о_рекурсии|теоремы о рекурсии]]) к нашей. Для этого построим по структуре данной из проблемы останова МТ (прим. [[Машина Тьюринга]]) полусистему Туэ. Пусть <tex> q_1 </tex> {{---}} стартовое состояние, <tex> q_n </tex> {{---}} допускающее состояние МТ. Для построение искомой полусистемы будем описывать текущее состояние МТ с помощью строки <tex> \langle xqy\rangle </tex> , где <tex> q </tex> {{---}} текущее состояние автомата, <tex> xy </tex> {{---}} строка, записанная на ленте, <tex> \langle</tex> и <tex>\rangle </tex> {{---}} маркера начала и конца строки соответственно. Пусть <tex> s </tex> {{---}} последний символ строки <tex> x </tex>, а <tex> t </tex> {{---}} первый символ строки <tex> y </tex>. При этом головка указывает на символ <tex> t </tex>.  Тогда текущий шаг МТ можно описать с помощью следующих преобразований строк:
+
[[m-сводимость|Сведем]] неразрешимую задачу проблемы останова<ref>Пример использования [[Теорема_о_рекурсии|теоремы о рекурсии]]</ref> к нашей. Для этого построим по структуре данной из проблемы останова [[Машина Тьюринга|МТ]] полусистему Туэ. Пусть <tex> q_1 </tex> {{---}} стартовое состояние, <tex> q_n </tex> {{---}} допускающее состояние МТ. Для построение искомой полусистемы будем описывать текущее состояние МТ с помощью строки <tex> \langle xqy\rangle </tex> , где <tex> q </tex> {{---}} текущее состояние автомата, <tex> xy </tex> {{---}} строка, записанная на ленте, <tex> \langle</tex> и <tex>\rangle </tex> {{---}} маркера начала и конца строки соответственно. Пусть <tex> s </tex> {{---}} последний символ строки <tex> x </tex>, а <tex> t </tex> {{---}} первый символ строки <tex> y </tex>. При этом головка указывает на символ <tex> t </tex>.  Тогда текущий шаг МТ можно описать с помощью следующих преобразований строк:
  
 
<tex>
 
<tex>
Строка 30: Строка 29:
 
<tex>q \rangle \rightarrow qB \rangle </tex> и <tex>\langle q \rightarrow \langle Bq </tex> для <tex> \forall q \in Q \setminus \{q_n\}</tex>  
 
<tex>q \rangle \rightarrow qB \rangle </tex> и <tex>\langle q \rightarrow \langle Bq </tex> для <tex> \forall q \in Q \setminus \{q_n\}</tex>  
  
И наконец добавим в наш набор те правила, которые позволят нам из конфигурации, в которой присутствует допускающее состояние <tex> q_n </tex>, получить уникальное слово. Это необходимо, чтобы мы смогли  построить критерий в терминах полуситсемы Туэ того, что из стартовой конфигураций наша программа корректно завершается. Имеем следующие правила:
+
И наконец добавим в наш набор те правила, которые позволят нам из конфигурации, в которой присутствует допускающее состояние <tex> q_n </tex>, получить уникальное слово. Это необходимо, чтобы мы смогли  построить критерий в терминах полуситсемы Туэ того, что из стартовой конфигураций наша программа корректно завершается. При этом пусть это уникальное состоит лишь из символа допускающего состояния <tex> q_n </tex>. Таким образом, имеем следующие правила:
  
<tex>q_nt \rightarrow  q_n </tex>
+
<tex>q_n c \rightarrow  q_n </tex> и <tex>c q_n \rightarrow  q_n </tex> для <tex> \forall c \in T \cup Q \cup \{B,  \langle, \rangle \}  </tex>
  
<tex>q_n \rangle \rightarrow w \rangle </tex>  
+
Имея этот набор правил можем составить упомянутый выше критерий: программа корректно завершиться на данном на ленте входном слове <tex> u </tex>, если в построенной полусистеме <tex> \langle q_1u \rangle \vDash ^*  q_n </tex>. Таким образом из разрешимости этой задачи следовала бы разрешимость задачи останова. Соответсвенно задача о выводе в полусистеме Туэ алгоритмически неразрешима.
 +
}}
  
<tex> tw \rightarrow w </tex> для <tex> \forall t \in T</tex>.
+
== См. также ==
 +
* [[m-сводимость]]
 +
* [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста | Проблема соответствий Поста]]
 +
* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении | Задача о замощении]]
 +
* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]
  
Имея этот набор правил можем составить упомянутый выше критерий: программа корректно завершиться на данном на ленте входном слове <tex> u </tex>, если в построенной полусистеме <tex> \langle q_1u \rangle \vDash ^* \langle w \rangle </tex>. Таким образом из разрешимости этой задачи следовала бы разрешимость задачи останова. Соответсвенно задача о выводе в полусистеме Туэ алгоритмически неразрешима.
+
==Примечания==
}}
+
<references/>
  
== Источники ==
+
== Источники информации==
 
* [[wikipedia:Semi-Thue_system | Wikipedia {{---}} Semi-Thue system]]
 
* [[wikipedia:Semi-Thue_system | Wikipedia {{---}} Semi-Thue system]]
 
*[http://problem24.wordpress.com/2011/07/07/lecture-on-undecidability-7-the-word-problem-for-thue-systems Undecidability of the word problem for semi-Thue systems ]
 
*[http://problem24.wordpress.com/2011/07/07/lecture-on-undecidability-7-the-word-problem-for-thue-systems Undecidability of the word problem for semi-Thue systems ]

Текущая версия на 00:34, 3 июня 2018

Определение:
Полусистема Туэ (ассоциативное исчисление) (англ. semi-Thue system) — это формальная система, определяемая алфавитом [math]A[/math] и конечным множеством подстановок вида [math]\alpha_i\rightarrow \beta_i[/math], где [math]\alpha_i, \beta_i[/math] — слова из [math]A[/math].


Подстановка [math]\alpha_i\rightarrow \beta_i[/math] интерпретируется как правило вывода [math]R_i[/math] следующим образом: [math]\gamma \vDash \delta[/math] по [math]R_i[/math] , если слово [math]\delta[/math] получается путем подстановки [math]\beta_i[/math] вместо какого-то вхождения [math]\alpha_i[/math] в [math]\gamma[/math].

Вывод [math]\beta[/math] из [math]\alpha[/math] — цепочка [math]\alpha\vDash\epsilon_1\vDash\epsilon_2\vDash \ldots \vdash\beta[/math], где каждое [math]\epsilon_j[/math] получается из [math]\epsilon_{j-1}[/math] некоторой подстановкой.

Теорема:
В полусистеме Туэ задача вывода из слова [math]\alpha [/math] слово [math] \beta[/math] (англ. word problem for semi-Thue systems) неразрешима.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Сведем неразрешимую задачу проблемы останова[1] к нашей. Для этого построим по структуре данной из проблемы останова МТ полусистему Туэ. Пусть [math] q_1 [/math] — стартовое состояние, [math] q_n [/math] — допускающее состояние МТ. Для построение искомой полусистемы будем описывать текущее состояние МТ с помощью строки [math] \langle xqy\rangle [/math] , где [math] q [/math] — текущее состояние автомата, [math] xy [/math] — строка, записанная на ленте, [math] \langle[/math] и [math]\rangle [/math] — маркера начала и конца строки соответственно. Пусть [math] s [/math] — последний символ строки [math] x [/math], а [math] t [/math] — первый символ строки [math] y [/math]. При этом головка указывает на символ [math] t [/math]. Тогда текущий шаг МТ можно описать с помощью следующих преобразований строк:

[math] sqt \rightarrow \begin{cases} q'st' & \text{if } \leftarrow \\ sq't' & \text{if } \downarrow \\ st'q' & \text{if } \rightarrow \end{cases} [/math]

В силу конечности множеств состояний автомата ([math] Q [/math]) и алфавита ([math] T [/math]) добавим все подобные правила (представленные выше) в нашу полусистему. Заметим, что в МТ лента у нас бесконечна. Поэтому добавим в нашу систему следующие правила, которые будут эмулировать расширение слова на ленте за счет сдвига маркеров (прим. B — пустой символ ленты) :

[math]q \rangle \rightarrow qB \rangle [/math] и [math]\langle q \rightarrow \langle Bq [/math] для [math] \forall q \in Q \setminus \{q_n\}[/math]

И наконец добавим в наш набор те правила, которые позволят нам из конфигурации, в которой присутствует допускающее состояние [math] q_n [/math], получить уникальное слово. Это необходимо, чтобы мы смогли построить критерий в терминах полуситсемы Туэ того, что из стартовой конфигураций наша программа корректно завершается. При этом пусть это уникальное состоит лишь из символа допускающего состояния [math] q_n [/math]. Таким образом, имеем следующие правила:

[math]q_n c \rightarrow q_n [/math] и [math]c q_n \rightarrow q_n [/math] для [math] \forall c \in T \cup Q \cup \{B, \langle, \rangle \} [/math]

Имея этот набор правил можем составить упомянутый выше критерий: программа корректно завершиться на данном на ленте входном слове [math] u [/math], если в построенной полусистеме [math] \langle q_1u \rangle \vDash ^* q_n [/math]. Таким образом из разрешимости этой задачи следовала бы разрешимость задачи останова. Соответсвенно задача о выводе в полусистеме Туэ алгоритмически неразрешима.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Примечания[править]

  1. Пример использования теоремы о рекурсии

Источники информации[править]