Изменения

'''Проблема соответствий Поста''' - (англ. ''Post correspondence problem'') — один из основных примеров неразрешимой задачи, использующийся для доказательства неразрешимости многих других задач. == Основные определения == 

Даны два конечных списка <tex>A = (a_1, \ldotsdots, a_n)</tex> и <tex>B = (b_1 ,\ldots dots ,b_n)</tex>, где <tex>a_i \in \Sigma ^*</tex> и <tex>b_i \in \Sigma ^*</tex> для всех <tex>i</tex>. Вопрос существования непустой последовательности индексов <tex>(i_1 , \ldotsdots, i_k)</tex>, удовлетворяющей условию <tex>a_{i_1} \ldots dots a_{i_k} = b_{i_1} \ldots dots b_{i_k}</tex>, где <tex>1 \leq leqslant i_j \leq leqslant n</tex> для всех <tex>j</tex>, называется '''проблемой соответствий Поста (ПСП)''' (англ. ''Post correspondence problem''). Такую последовательность индексов, в случае её существования, называют '''решением проблемы соответствий Поста'''.

== Примеры решений проблем соответствия Поста == === Пример 1 ==={{Определение|class="wikitable" style="text-align: center" |- !Номер элемента !<tex>1</tex> !<tex>2</tex> !<tex>3</tex> |- !<tex>A</tex> |<tex>01</tex> |<tex>1</tex> |<tex>011</tex> |- !<tex>B</tex> |<tex>101</tex> |<tex>11</tex> |<tex>01</tex> |definition=}Проблема Решение этой проблемы соответствий Постабудет являться последовательность индексов <tex>(3, для которой фиксирован элемент последовательности индексов 1, 3, 2)</tex>.Проверим это. <tex>i_1 sA = 011, 01, 011, 1</tex> <tex>sB = 01, 101, 01, 11</tex> Получаем то, что строки <tex>sA</tex> и <tex>sB</tex> равны, называется '''модифицированной проблемой соответствий Поста а значит последовательность индексов <tex>(МПСП3, 1, 3, 2)'''</tex> является решением этой проблемы соотвествий Поста. === Пример 2 ===Иногда возникает ситуация, когда решений конкретной проблемы соответствия Поста нет.{|class="wikitable" style="text-align: center" |- !Номер элемента !<tex>1</tex> !<tex>2</tex> !<tex>3</tex> |- !<tex>A</tex> |<tex>01</tex> |<tex>101</tex> |<tex>011</tex> |- !<tex>B</tex> |<tex>0</tex> |<tex>10</tex> |<tex>111</tex> |} Заметим, что если бы решение существовало оно должно было начинаться с индекса <tex>1</tex> или <tex>2</tex>.Но тогда строки получаемые из <tex>A</tex> всегда будут строго больше по длине, чем строки полученные из <tex>B</tex>, так как <tex> \mathrm{length}(A[i]) \geqslant \mathrm{length}(B[i])</tex> для всех <tex>i</tex>. Решения не существует.

Язык пар последовательностей, для которых существует решение ПСП, [[Перечислимые языки | перечислим]].

'''for ''' <tex>m = 1 .. \dots \infty</tex> for all '''foreach''' <tex>(i_1, i_2, \ldotsdots, i_m): 1 \leq leqslant i_j \leq leqslant n</tex> '''if ''' <tex>a_{i_1} \ldots dots a_{i_m} = b_{i_1} \ldots dots b_{i_m}</tex> '''return ''' ''true'' 

{{Определение|definition=Проблема соответствий Поста, для которой фиксирован элемент последовательности индексов <tex>i_1 = Неразрешимость языка ПСП ==1</tex>, называется '''модифицированной проблемой соответствий Поста (МПСП)'''.}}

Докажем [[Разрешимые (рекурсивные) языки|неразрешимость ]] языка ПСП следующим образом. Докажем, что универсальный язык [[M-сводимость|сводится]] к языку МПСП, который в свою очередь сводится к языку ПСП. При этом отметим, что для унарного алфавита ПСП разрешима.

Для начала покажем как свести === Cведение МПСП к ПСП.===

* Для для всех <tex>i = 1 \ldots dots n</tex> возьмем <tex>c_i</tex> равное слову <tex>a_i</tex> с символом <tex>\#</tex> после каждого его символа. Например, для <tex>a_i = 10zx</tex> положим <tex>c_i = 1\#0\#z\#x\#</tex>;,* Для для всех <tex>i = 1 \ldots dots n</tex> возьмем <tex>d_i</tex> равное слову <tex>b_i</tex> с символом <tex>\#</tex> перед каждым его символом. Например, для <tex>b_i = 10zx</tex> положим <tex>d_i = \#1\#0\#z\#x</tex>;,* <tex>c_0 = \#c_1</tex>;,* <tex>d_0 = d_1</tex>;,* <tex>c_{n+1} = \$</tex>;,

Пусть набор индексов <tex>(1, i_2, \ldotsdots, i_k)</tex> - — решение МПСП из условия леммы. То есть <tex>w_A = w_B</tex>, где

<tex>w_A = a_1 a_{i_2} \ldots dots a_{i_k}</tex>,

<tex>w_B = b_1 b_{i_2} \ldots dots b_{i_k}</tex>.

Рассмотрев цепочки <tex>w_C</tex> и <tex>w_D</tex> c аналогичными индексами, заметим, что мы имеем почти равные цепочки с той лишь разницей, что первой не хватает символа <tex>\#</tex> в начале, а второй - — в конце. Конкретно,

<tex>\# c_1 c_{i_2} \ldots dots c_{i_k} = d_1 d_{i_2} \ldots dots d_{i_k} \# </tex>.

<tex> c_0 c_{i_2} \ldots dots c_{i_k} c_{n+1} = d_1 d_0 d_{i_2} \ldots dots d_{i_k} d_{n+1} </tex>.

Итого, если <tex>(1, i_2, \ldotsdots, i_k)</tex> - — решение исходной МПСП, то <tex>(0, i_2, \ldotsdots, i_k, n+1)</tex> - — решение построенной по правилам выше ПСП.

* <tex>i_1 = 0</tex>, так как только в паре <tex>(c_1, d_1)</tex> первые символы совпадают;,

Пусть последовательность <tex>(0, i_2, i_3, \ldotsdots, i_k, n + 1)</tex> является решением ПСП. Иными словами,

<tex>c_0 c_{i_2} \ldots dots c_{i_k} c_{n+1} = d_0 d_{i_2} \ldots dots d_{i_k} d_{n+1}</tex>.

Если <tex>i_f</tex> — наименьший индекс, равный <tex>n+1</tex>, то <tex>c_0 c_{i_2} \ldots dots c_{i_f}</tex>, <tex>d_0 d_{i_2} \ldots dots d_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\$</tex>, следовательно, равны между собой. Последовательность <tex>(0, i_{2} \ldotsdots, i_f)</tex> — также решение ПСП, причём первый индекс равен <tex>0</tex> и <tex>i_f = n + 1</tex>. Остальные индексы не превосходят <tex>n</tex>, но и не равны <tex>0</tex>, иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>\#</tex> подряд, а в правой её не может быть. Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенство:

<tex>\# c_1 c_{i_2} \ldots dots c_{i_{f-1}}\$</tex> <tex>=</tex> <tex>d_1 d_{i_2} \ldots dots d_{i_{f-1}} \#\$</tex>.

<tex>a_1 a_{i_2} \ldots dots a_{i_{f-1}} = b_1 b_{i_2} \ldots dots b_{i_{f-1}}</tex>.

Итого, если <tex>(0, i_2, \ldotsdots, i_k, n+1)</tex> - — решение ПСП, то <tex>(1, i_2, \ldotsdots, i_k)</tex> - — решение исходной МПСП.

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_=== Сведение универсального языка к МПСП ==={n_{-2}} \$ \ldots \$ \#_{yes} \$ \$'</tex>,Определение|definition=где <tex>snap_i</tex> — снимки последовательных состояний МТ от стартового до конечного, <tex>snap_{n_{-t}}</tex> — последний снимок с <tex>t</tex> удалёнными символами. Оговоримся, что Назовём '''снимком состояния <tex>no</tex> в автомате [[Машина Тьюринга|МТ не существует (его роль может выполнять сток), допуск происходит при попадании в состояние <tex>yes</tex>. Сформируем последовательности <tex>a</tex> и ]]''' строку вида <tex>b</tex> по МТ <tex>M</tex> и строке <tex>w</tex>. <tex>a_1 = c_1 c_2 \$' dots c_k \#__p c_{startk+1} w \$ dots c_t</tex>, где <tex>b_1 = c_1 c_2 \$'</tex>; для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты: <tex>a_i = cdots c_t</tex>— строка на ленте, <tex>b_i = c</tex>за исключением бесконечных последовательностей пробелов слева и справа, а также <tex>a_i = \$p</tex>— текущее состояние автомата МТ, головка расположена справа от <tex>b_i = \$#_p</tex>;.}}для всех правил <tex>M</tex> вида Построим списки <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \leftarrow \rangleA</tex> и для всех символов алфавита <tex>e</tex>: <tex>a_i = \#_q e dB</tex>таким образом, <tex>b_i = e \#_p c</tex>;чтобы решение МПСП образовывало строку

для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = $ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \dots \$ \langle q, d, #_{yes} \rightarrow $ \rangle$</tex>:,

где <tex>snap_i</tex> — снимки последовательных состояний МТ от стартового до конечного, <tex>snap_{n_{-t}}</tex> — последний снимок с <tex>t</tex> удалёнными символами, а <tex>a_i = d \#_q$</tex> — символ, не принадлежащий алфавиту ленты и алфавиту входных слов. Оговоримся, что отвергающего состояния <tex>no</tex>в автомате МТ не существует, а допуск происходит при попадании в состояние <tex>b_i = \#_p cyes</tex>;.

для всех правил Сформируем списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> по МТ <tex>M</tex> вида и входной строке <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \downarrow \ranglew</tex>. Будем добавлять пары цепочек в эти списки по следующим правилам:

:1. <tex>a_1 = \$ \#_{start} w \$ </tex>, <tex>b_1 = \$</tex>. По определению МПСП эта пара всегда будет первой в любом решении.:2. <tex>a_i = c</tex>, <tex>b_i = c</tex> для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:3. <tex>a_i = \$</tex>, <tex>b_i = \$</tex>.:4. <tex>a_i = \#_q e d</tex>, <tex>b_i = e \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \leftarrow \rangle</tex> и для всех символов алфавита <tex>e</tex>.:5. <tex>a_i = d \#_q</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \rightarrow \rangle</tex>.:6. <tex>a_i = \#_q d</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \downarrow \rangle</tex>.

Заметим, что все элементы <tex>aA</tex> и <tex>bB</tex>, кроме первых, имеют одинаковую длину. Значит, строка, составленная из элементов <tex>aA</tex>, всегда оказывается длиннее. Если представить процесс формирования решения МПСП как динамический, вторая то строка из элементов <tex>B</tex> вынуждена постоянно «догонять» "догонять" первую. Более того, можно доказать по индукциизаметить, что вторая строка всегда будет отставать ровно на один снимок. Действительно, первая пара из списков <tex>A</tex> и <tex>B</tex> задает это отставание. Затем при помощи элементов из правил <tex>4</tex>, <tex>5</tex> и <tex>6</tex> мы имитируем переход машины Тьюринга, добавляя во вторую строку то состояние и положение головки, которые были до перехода, а в первую строку - то состояние, положение головки и новый ленточный символ, которые стали после перехода. Нетрудно заметить, что тем самым строка составленная из элементов списка <tex>B</tex> будет соответствовать строке из элементов списка <tex>A</tex>, но с отставанием на один переход. Далее с помощью элементов из правил <tex>2</tex> и <tex>3</tex> мы допишем в обе строки одинаковые суффиксы текущего снимка, разделитель <tex>\$</tex> и префикс нового снимка до следующего перехода машины Тьюринга. Таким образом если первая строка имеет видравна

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_n \$</tex>,

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_{n-1} \$</tex>,

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_n \$ snap_{n+1} \$</tex>

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_{n-1} \$ snap_n \$</tex>,

Задача Теперь стоит новая задача — получить равные строки, если состояние <tex>\#_{yes}</tex> достижимо. Для этого добавим в уже имеющиеся последовательности следующие элементыпо следующим правилам:

:7. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:8. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>, <tex>b_i = c \#_{yes}</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:9. <tex>a_i = \$'</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} \$ \$'</tex>.

Если состояние <tex>a_i = \#_{yes}</tex>недостижимо, в первой строке никогда не будет символа <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>,и ни одним из новых элементов воспользоваться не удастся. Значит, строки всегда будут иметь различную длину.

Если же допускающее состояние встретится, то "съедая" по одному символу с помощью элементов правил <tex>a_i = \#_{yes}7</tex>, и <tex>8</tex> и копируя все остальные с помощью элементов из правил <tex>2</tex> и <tex>b_i = c \#_{yes}3</tex>,можно будет привести строки к виду

Если состояние <tex>yes</tex> недостижимо, в первой строке никогда не будет символа <tex>\#_$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{yesn_{-2}} \$ \dots \$ </tex>, и ни одним из новых элементов воспользоваться не удастся. Значит, строки всегда будут иметь различную длину.

Если же допускающее состояние встретитсяИ наконец, с помощью новых элементов можно будет привести обе строки к виду  <tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \ldots \$ \#_{yes} \$ \$'</tex>. Другими словами, «сравнять» строки возможно тогда и только тогда, когда автомат, принадлежащий <tex>M</tex>, допускает <tex>w</tex>. Таким образом, выполнено успешное m-сведение множества пар из машины Тьюринга (МТ) правила <tex>M9</tex> и сравняем строки <tex>w</tex>, где <tex>M(w)</tex> не зависает, к множеству решений МПСП. }}

Последовательности Списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> для строки <tex>ab</tex> будут сформированы следующим образом:

! Последовательность a<tex>A</tex> ! Последовательность b<tex>B</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$</tex> |<tex>\$'</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$</tex> |<tex>\$'</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start}</tex> |<tex>\$' \#_{start} a</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes}</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes}</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes}</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex>

{{Теорема|statement=ПСП не разрешима.|proof=Скомбинировав обе леммы, мы сведем универсальный язык к языку ПСП, а так как универсальный язык неразрешим, то и ПСП — неразрешима.}} == См. также ==* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ|Задача о выводе в полусистеме Туэ]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении|Задача о замощении]]* [[Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики|Однозначность грамматики]]* [[Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-грамматик]]* [[Неразрешимость проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах]] == Источники информации ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Post_correspondence_problem Wikipedia — Post correspondence problem - Wikipedia] [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория: Примеры неразрешимых задач]]