Редактирование: Примитивно рекурсивные функции

[[Лекция 6 | <<]][[Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике | >>]]

[[Категория: Математическая логика]]

== Рекурсивные функции ==
===Строительные блоки рекурсивных функций===
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:
<ol>
<li> <tex>\mathrm{Z}</tex> {{---}} ноль. </li>

<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex>

<li> <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} инкремент. </li> 

<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex>, где <tex>x' = x + 1</tex>.

<li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li>

<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i</tex>
 
<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li> 

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex>

<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li> 

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, \ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll}
    \mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n) & y = 0\\
    \mathrm{g}(x_1, \ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1, \ldots, x_n,y-1)) & y > 0
  \end{array}\right.</tex>

<li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li> 

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.
</ol>
{{Определение
|definition=
Если некоторая функция <tex>\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ. ''recursive''). 
}}

===Примитивно рекурсивные функции===

==== Основные определения ====
Рассмотрим следующие правила преобразования функций:

===== Подстановка =====
Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> \mathrm{f}(x_1,\ldots,x_k) </tex>  и <tex> k </tex> <tex>n </tex>-местных функций <tex> \mathrm{g_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n) </tex>. Тогда после преобразования у нас появится <tex> n </tex>-местная функция <tex>\mathrm{F} </tex>, такая что:
<tex> \mathrm{F} = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,\ldots,x_n),\ldots, \mathrm{g_k}(x_1,\ldots,x_n)) </tex>. 

===== Рекурсия =====
Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> \mathrm{f} </tex> и <tex> (k + 2) </tex>-местную функцию <tex> \mathrm{h} </tex>.  Тогда после преобразования у нас будет <tex> (k+1) </tex>-местная функция <tex> \mathrm{g} </tex>, которая определена следующим образом: 

<tex>\mathrm{g}(x_1,\ldots,x_n,0)=\mathrm{f}(x_1,\ldots,x_n)</tex>

<tex>\mathrm{g}(x_1,\ldots,x_n,y+1)=\mathrm{h}(x_1,\ldots,x_n,y,\mathrm{g}(x_1,\ldots, x_n,y))</tex>

При этом будем говорить, что рекурсия запускается по аргументу <tex> y </tex>.

{{Определение
|definition=
'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил <tex>1</tex>{{---}}<tex>5</tex>.

}}
Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n}  </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.
{{Определение
|definition=
'''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.
}}

Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.

== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ==

==== '''n'''-местный ноль ====
<tex> \textbf 0 </tex> {{---}} функция нуля аргументов.

<tex> \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex>\textbf 0</tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>.

====Константа <tex> \textbf M </tex>====

<tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))</tex>

<tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex>  образом.

==== Сложение ====
<tex> \mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)</tex>, где

<tex> \mathrm{f}(x) = x </tex>

<tex> \mathrm{g}(x, y, z) = \mathrm{N}(z) </tex>


<tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) =   \left\{\begin{array}{ll}
    \mathrm{f}(x) & y = 0\\  
    \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0
\end{array}\right.</tex>

<tex>=\left\{\begin{array} {ll}
     x & y = 0\\  
     \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0
    \end{array}\right.</tex>

<tex>=\left\{\begin{array} {ll}
     x & y = 0\\  
     \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0
    \end{array}\right. </tex>

Можно преобразовать в более простой вид.

<tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex>

<tex> \mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex>

==== Умножения ====
<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \mathrm{Z}(x) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>

==== Вычитания ====
Если <tex> x \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.

Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex> 

<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \mathrm{Z}(0) </tex>

<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex>

Теперь рассмотрим <tex> \mathrm{sub}(x,y) </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>

==== Операции сравнения ====
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> \mathrm{eq}(x,y) = 0 </tex>

<tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex>

<tex> \mathrm{lower}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 0 </tex>

Сначала выразим <tex> \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \mathrm{Z}(x,y-1) </tex>

Теперь все остальные функции

<tex> \mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y)) </tex>

<tex> \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) </tex>

<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex>

==== Условный оператор ====
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex>

<tex> \mathrm{if}(c,x,y) = x </tex>

==== Деление ====
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y}  \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.

Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>. 

<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y) </tex>

<tex>\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),</tex><tex>\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y))</tex>

Теперь само деления 

<tex> \mathrm{divide}(0,y) = \mathrm{Z}(y) </tex>

<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) </tex>

Остаток от деления выражается так:

<tex> \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) </tex>

==== Работа со списками фиксированной длины ====
С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа.
Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

==Теоремы==
===Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ===
{{Теорема
|statement= Если для  [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex>  на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно  <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex>  примитивно рекурсивная функция. 
|proof=
Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где:

*<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.

*<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.  

*<tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния.

*<tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты.

Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние.
Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в <tex> C </tex> записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в <tex> L </tex> и <tex> R </tex> в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в <tex> C </tex>  записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в <tex> S </tex> записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода {{---}} примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций <tex> \mathrm{if} </tex> следует что и <tex> \mathrm{f} </tex> также является примитивно рекурсивной функцией.

Функции преобразование аргументов в формат входных данных для [[Машина Тьюринга|МТ]] и получения ответа по состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их <tex>\mathrm{IN} </tex> и  <tex> \mathrm{OUT} </tex>.

Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] после <tex> t </tex> шагов.
Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция.

<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex>

<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) </tex>

Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция.    
}}

==См. также ==
* [[Лямбда-исчисление]]
* [[Частично рекурсивные функции]]

==Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]