Редактирование: Примитивно рекурсивные функции

 

<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) = x_i</tex>

<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}} подстановка.</li>  

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))</tex>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll}

     \mathrm{f}(x_1,...x_n) & y = 0\\

     \mathrm{g}(x_1,...x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...x_n,y-1)) & y > 0

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.

'''Примитивно рекурсивными''' называют функции, которые можно получить с помощью правил, описанных выше, рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex> и набора функций <tex> \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \leqslant n </tex>.

Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n}  </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время.  

В дальнейшем вместо <tex> \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_k) </tex> будем писать просто <tex> x_k </tex>, подразумевая требуемое нам <tex> n </tex>.

Выразим сначала <tex> \textbf 0^1 </tex>

<tex> \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 </tex>

<tex> \textbf 0^{1}(y) = \textbf 0 </tex>

 

Теперь выразим <tex> \textbf 0^n </tex>

 

<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} </tex>

 

<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \textbf 0^{n} </tex>

Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> \mathrm{N}(\textbf{M-1}) </tex>

<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y)) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y)) </tex>

Если <tex> x < y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.

<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf 0 </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y)) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) = \textbf 0^2(x,y) </tex>

==== IF ====

<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = x </tex>

<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.

<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^{1} </tex>

<tex> \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(x,y)),y),\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(x,y)) </tex>

<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^{1} </tex>

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - ого простого числа.

Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i - i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того

=== Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ===

<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.

<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.   

<tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния

<tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты.