Редактирование: Примитивно рекурсивные функции
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 4: | Строка 4: | ||
== Рекурсивные функции == | == Рекурсивные функции == | ||
− | + | ||
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения: | Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения: | ||
<ol> | <ol> | ||
Строка 17: | Строка 17: | ||
<li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li> | <li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li> | ||
− | <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, | + | <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) = x_i</tex> |
− | <li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li> | + | <li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}} подстановка.</li> |
− | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, | + | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))</tex> |
<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li> | <li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li> | ||
− | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, | + | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} |
− | \mathrm{f}(x_1, | + | \mathrm{f}(x_1,...x_n) & y = 0\\ |
− | \mathrm{g}(x_1, | + | \mathrm{g}(x_1,...x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...x_n,y-1)) & y > 0 |
\end{array}\right.</tex> | \end{array}\right.</tex> | ||
<li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li> | <li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li> | ||
− | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, | + | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)</tex> — такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен. |
</ol> | </ol> | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 43: | Строка 43: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | '''Примитивно рекурсивными''' | + | '''Примитивно рекурсивными''' называют функции, которые можно получить с помощью правил, описанных выше, рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex> и набора функций <tex> \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \leqslant n </tex>. |
}} | }} | ||
− | Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. | + | Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования: | Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования: | ||
*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место. | *В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место. | ||
− | + | В дальнейшем вместо <tex> \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_k) </tex> будем писать просто <tex> x_k </tex>, подразумевая требуемое нам <tex> n </tex>. | |
== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях == | == Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях == | ||
− | + | ===Строительные блоки рекурсивных функций=== | |
==== '''n'''-местный ноль ==== | ==== '''n'''-местный ноль ==== | ||
<tex> \textbf 0 </tex> {{---}} функция нуля аргументов. | <tex> \textbf 0 </tex> {{---}} функция нуля аргументов. | ||
− | <tex> \textbf 0^ | + | Выразим сначала <tex> \textbf 0^1 </tex> |
− | <tex> \textbf 0^{ | + | <tex> \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 </tex> |
− | + | <tex> \textbf 0^{1}(y) = \textbf 0 </tex> | |
+ | |||
+ | Теперь выразим <tex> \textbf 0^n </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \textbf 0^{n} </tex> | ||
====Константа <tex> \textbf M </tex>==== | ====Константа <tex> \textbf M </tex>==== | ||
− | + | ||
− | <tex> \textbf M | + | Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> \mathrm{N}(\textbf{M-1}) </tex> |
<tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. | <tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. | ||
==== Сложение ==== | ==== Сложение ==== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex> | <tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y | + | <tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y)) </tex> |
==== Умножения ==== | ==== Умножения ==== | ||
− | <tex> \mathrm{prod}(x,0) = \ | + | <tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex> |
− | <tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y | + | <tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y)) </tex> |
==== Вычитания ==== | ==== Вычитания ==== | ||
− | Если <tex> x | + | Если <tex> x < y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>. |
Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex> | Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{sub_1}(0) = \ | + | <tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf 0 </tex> |
<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex> | <tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex> | ||
Строка 120: | Строка 98: | ||
<tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex> | <tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y | + | <tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y)) </tex> |
==== Операции сравнения ==== | ==== Операции сравнения ==== | ||
Строка 133: | Строка 111: | ||
<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex> | <tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y | + | <tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) = \textbf 0^2(x,y) </tex> |
Теперь все остальные функции | Теперь все остальные функции | ||
Строка 143: | Строка 121: | ||
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex> | <tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex> | ||
− | ==== | + | ==== IF ==== |
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex> | <tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{if}(c,x,y) = x </tex> | + | <tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = x </tex> |
==== Деление ==== | ==== Деление ==== | ||
− | <tex> \mathrm{divide}(x,y) = | + | <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами. |
Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>. | Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>. | ||
− | <tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\ | + | <tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^{1} </tex> |
− | <tex>\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x | + | <tex> \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(x,y)),y),\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(x,y)) </tex> |
Теперь само деления | Теперь само деления | ||
− | <tex> \mathrm{divide}(0,y) = \ | + | <tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^{1} </tex> |
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) </tex> | <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) </tex> | ||
Строка 168: | Строка 146: | ||
==== Работа со списками фиксированной длины ==== | ==== Работа со списками фиксированной длины ==== | ||
− | С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа. | + | С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - ого простого числа. |
− | Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex>p_i | + | Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i - i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того |
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел. | элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел. | ||
− | + | === Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций === | |
− | ===Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex> примитивно рекурсивная функция. | |statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex> примитивно рекурсивная функция. | ||
Строка 179: | Строка 156: | ||
Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где: | Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где: | ||
− | + | <tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. | |
− | + | <tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды. | |
− | + | <tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния | |
− | + | <tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты. | |
Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние. | Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние. | ||
Строка 209: | Строка 186: | ||
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012] | * Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012] | ||
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция] | *[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция] | ||
− | + | ||
[[Категория: Теория формальных языков]] | [[Категория: Теория формальных языков]] | ||
[[Категория: Теория вычислимости]] | [[Категория: Теория вычислимости]] | ||
[[Категория: Вычислительные формализмы]] | [[Категория: Вычислительные формализмы]] |