Редактирование: Примитивно рекурсивные функции
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 17: | Строка 17: | ||
<li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li> | <li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li> | ||
− | <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, | + | <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) = x_i</tex> |
− | <li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li> | + | <li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}} подстановка.</li> |
− | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, | + | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))</tex> |
<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li> | <li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li> | ||
− | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, | + | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} |
− | \mathrm{f}(x_1, | + | \mathrm{f}(x_1,...x_n) & y = 0\\ |
− | \mathrm{g}(x_1, | + | \mathrm{g}(x_1,...x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...x_n,y-1)) & y > 0 |
\end{array}\right.</tex> | \end{array}\right.</tex> | ||
<li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li> | <li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li> | ||
− | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, | + | Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)</tex> — такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен. |
</ol> | </ol> | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 64: | Строка 64: | ||
<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex> | <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex> | ||
− | |||
− | |||
====Константа <tex> \textbf M </tex>==== | ====Константа <tex> \textbf M </tex>==== | ||
− | <tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}( | + | <tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(... (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))</tex> |
<tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. | <tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. | ||
Строка 103: | Строка 101: | ||
==== Умножения ==== | ==== Умножения ==== | ||
− | <tex> \mathrm{prod}(x,0) = \ | + | <tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex> |
<tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex> | <tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex> | ||
Строка 112: | Строка 110: | ||
Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex> | Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{sub_1}(0) = \ | + | <tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf 0 </tex> |
<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex> | <tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex> | ||
Строка 133: | Строка 131: | ||
<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex> | <tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \ | + | <tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2(x,y-1) </tex> |
Теперь все остальные функции | Теперь все остальные функции | ||
Строка 143: | Строка 141: | ||
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex> | <tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex> | ||
− | ==== | + | ==== IF ==== |
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex> | <tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex> | ||
− | <tex> \mathrm{if}(c,x,y) = x </tex> | + | <tex> \mathrm{if}(c-1,x,y) = x </tex> |
==== Деление ==== | ==== Деление ==== | ||
− | <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то | + | <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким-то неинтересными для нас числами. |
Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>. | Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>. | ||
Строка 155: | Строка 153: | ||
<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y) </tex> | <tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y) </tex> | ||
− | <tex>\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y), | + | <tex>\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y))</tex> |
Теперь само деления | Теперь само деления | ||
Строка 169: | Строка 167: | ||
==== Работа со списками фиксированной длины ==== | ==== Работа со списками фиксированной длины ==== | ||
С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа. | С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа. | ||
− | Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex>p_i | + | Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i - i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того |
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел. | элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел. | ||