Примитивно рекурсивные функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 153 промежуточные версии 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
[[Лекция 6 | <<]][[Лекция 8 | >>]]
+
[[Лекция 6 | <<]][[Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике | >>]]
  
= Рекурсивные функции. =
+
[[Категория: Математическая логика]]
  
 +
== Рекурсивные функции ==
 +
===Строительные блоки рекурсивных функций===
 
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:
 
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:
 +
<ol>
 +
<li> <tex>\mathrm{Z}</tex> {{---}} ноль. </li>
  
# <tex>Z: N \rightarrow N</tex>, <tex>Z(x) = 0</tex>
+
<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex>
# <tex>N: N \rightarrow N</tex>, <tex>N(x) = x'</tex>
+
 
# Проекция. <tex>U^n_i: N^n \rightarrow N</tex>, <tex>U^n_i (x_1, ... x_n) = x_i</tex>
+
<li> <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} инкремент. </li>  
# Подстановка. Если <tex>f: N^n \rightarrow N</tex> и <tex>g_1, ... g_n: N^m \rightarrow N</tex>, то <tex>S\langle{}f,g_1,...g_n\rangle: N^m \rightarrow N</tex>. При этом <tex>S\langle{}f,g_1,...g_n\rangle (x_1,...x_m) = f(g_1(x_1,...x_m), ... g_n(x_1,...x_m))</tex>
+
 
# Примитивная рекурсия. Если <tex>f: N^n \rightarrow N</tex> и <tex>g: N^{n+2} \rightarrow N</tex>, то <tex>R\langle{}f,g\rangle: N^{n+1} \rightarrow N</tex>, при этом <tex>R\langle{}f,g\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll}
+
<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex>, где <tex>x' = x + 1</tex>.
    f(x_1,...x_n) & , y = 0\\
 
    g(x_1,...x_n,y-1,R\langle{}f,g\rangle(x_1,...x_n,y-1)) &, y > 0
 
  \end{array}\right.</tex>
 
# Минимизация. Если <tex>f: N^{n+1} \rightarrow N</tex>, то <tex>\mu \langle{}f\rangle: N^n \rightarrow N</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}f\rangle (x_1,...x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>f(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.
 
  
Если некоторая функция <tex>N^n \rightarrow N</tex> может быть задана с помощью данных примитивов, то она называется рекурсивной. Если некоторую функцию можно собрать исключительно из первых 5 примитивов (то есть без использования операции минимизации), то такая функция называется примитивно-рекурсивной.
+
<li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li>
  
 +
<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i</tex>
 +
 +
<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>
  
{{Теорема
+
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex>
|statement=
 
Следующие функции являются примитивно-рекурсивными:
 
сложение, умножение, ограниченное вычитание (которое равно 0, если результат вычитания отрицателен),
 
целочисленное деление, остаток от деления.
 
|proof=
 
Упражнение
 
}}
 
  
= Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике. =
+
<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li>
  
Введем обозначение. Будем говорить, что <tex>\alpha (x_1, \dots x_n)</tex> &mdash; это формула с <tex>n</tex> свободными переменными, если переменные <tex>x_1, ... x_n</tex> входят в <tex>\alpha</tex> свободно. Запись <tex>\alpha (y_1, \dots y_n)</tex> будем трактовать, как <tex>\alpha [x_1 := y_1, ... x_n := y_n]</tex>, при этом мы подразумеваем, что <tex>y_1, \dots y_n</tex> свободны для подстановки вместо <tex>x_1, \dots x_n</tex> в <tex>\alpha</tex>.
+
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, \ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll}
 +
    \mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n) & y = 0\\
 +
    \mathrm{g}(x_1, \ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1, \ldots, x_n,y-1)) & y > 0
 +
  \end{array}\right.</tex>
  
Также, запись <tex>B(x_1, \dots x_n) := \alpha(x_1, \dots x_n)</tex> будет означать, что мы определяем новую формулу с именем <tex>B</tex>. Данная формула должна восприниматься только как сокращение записи, макроподстановка.
+
<li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li>  
  
{{Определение  
+
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.
 +
</ol>
 +
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Арифметическая функция --- функция <tex>f: N^n \rightarrow N</tex>.
+
Если некоторая функция <tex>\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ. ''recursive'').  
Арифметическое отношение --- <tex>n</tex>-арное отношение, заданное на <tex>N</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
{{Определение  
+
===Примитивно рекурсивные функции===
 +
 
 +
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Арифметическое отношение <tex>R</tex> называется выразимым (в формальной арифметике), если существует такая формула <tex>\alpha (x_1, \dots x_n)</tex> с <tex>n</tex> свободными переменными, что для любых натуральных чисел <tex>k_1</tex> ... <tex>k_n</tex>
+
'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил <tex>1</tex>{{---}}<tex>5</tex>.
  
# если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> истинно, то доказуемо <tex>\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex>
 
# если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> ложно, то доказуемо <tex>\neg \alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex>.
 
 
}}
 
}}
 +
Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n}  </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.
 +
}}
 +
 +
Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
 +
*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
 +
*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
 +
 +
== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ==
 +
 +
==== '''n'''-местный ноль ====
 +
<tex> \textbf 0 </tex> {{---}} функция нуля аргументов.
 +
 +
<tex> \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
 +
 +
<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
 +
 +
Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex>\textbf 0</tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>.
 +
 +
====Константа <tex> \textbf M </tex>====
 +
 +
<tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))</tex>
  
Например, отношение <tex>(<)</tex> является выразимым в арифметике: Рассмотрим формулу <tex>\alpha (a_1, a_2) = \exists b (\neg b = 0 \& a_1 + b = a_2)</tex>. В самом деле, если взять некоторые числа <tex>k_1</tex> и <tex>k_2</tex>, такие, что <tex>k_1 < k_2</tex>, то найдется такое положительное число <tex>b</tex>, что <tex>k_1 + b = k_2</tex>. Можно показать, что если подставить <tex>\overline{k_1}</tex> и <tex>\overline{k_2}</tex> в <tex>\alpha</tex>, то формула будет доказуема.
+
<tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.
  
Наметим доказательство: Тут должно быть два доказательства по индукции, сперва по <tex>k_2</tex>, потом по <tex>k_1</tex>. Рассмотрим доказательство по индукции: пусть <tex>k_1 = 0</tex>, индукция по 2-му параметру: Разберем доказательство базы при <tex>k_2 = 1</tex>. Тогда надо показать <tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex>:
+
==== Сложение ====
 +
<tex> \mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)</tex>, где
  
<table>
+
<tex> \mathrm{f}(x) = x </tex>
<tr class="odd">
 
<td align="left">(1)</td>
 
<td align="left"><tex>\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1</tex></td>
 
<td align="left">Несложно показать</td>
 
</tr>
 
<tr class="even">
 
<td align="left">(2)</td>
 
<td align="left"><tex>(\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1) \rightarrow \exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex></td>
 
<td align="left">Cх. акс. для <tex>\exists</tex></td>
 
</tr>
 
<tr class="odd">
 
<td align="left">(3)</td>
 
<td align="left"><tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex></td>
 
<td align="left">M.P. 1 и 2.</td>
 
</tr>
 
</table>
 
  
{{Определение
+
<tex> \mathrm{g}(x, y, z) = \mathrm{N}(z) </tex>
|definition=
+
 
Введем следующее сокращение записи: пусть <tex>\exists ! y \phi (y)</tex> означает <tex>\exists y \phi (y) \& \forall a \forall b (\phi(a) \& \phi(b) \rightarrow a=b)</tex> Здесь <tex>a</tex> и <tex>b</tex> &mdash; некоторые переменные, не входящие в формулу <tex>\phi</tex> свободно.
+
 
}}
+
<tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) =  \left\{\begin{array}{ll}
 +
    \mathrm{f}(x) & y = 0\\ 
 +
    \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0
 +
\end{array}\right.</tex>
 +
 
 +
<tex>=\left\{\begin{array} {ll}
 +
    x & y = 0\
 +
    \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0
 +
    \end{array}\right.</tex>
 +
 
 +
<tex>=\left\{\begin{array} {ll}
 +
    x & y = 0\
 +
    \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0
 +
    \end{array}\right. </tex>
 +
 
 +
Можно преобразовать в более простой вид.
 +
 
 +
<tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex>
 +
 
 +
==== Умножения ====
 +
<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \mathrm{Z}(x) </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>
 +
 
 +
==== Вычитания ====
 +
Если <tex> x \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \mathrm{Z}(0) </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex>
 +
 
 +
Теперь рассмотрим <tex> \mathrm{sub}(x,y) </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>
 +
 
 +
==== Операции сравнения ====
 +
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> \mathrm{eq}(x,y) = 0 </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 0 </tex>
 +
 
 +
Сначала выразим <tex> \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \mathrm{Z}(x,y-1) </tex>
 +
 
 +
Теперь все остальные функции
 +
 
 +
<tex> \mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y)) </tex>
  
{{Определение
+
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) </tex>
|definition=
 
Арифметическая функция <tex>f</tex> от <tex>n</tex> аргументов называется представимой в формальной арифметике, если существует такая формула <tex>\alpha (x_1, \dots x_{n+1})</tex> с <tex>n+1</tex> свободными пременными, что для любых натуральных чисел <tex>k_1</tex> ... <tex>k_n</tex>
 
  
# <tex>f(k_1, \dots k_n) = k_{n+1}</tex> тогда и только тогда, когда доказуемо <tex>\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_{n+1}})</tex>.
+
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex>
# Доказуемо <tex>\exists ! b (\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n}, b)</tex>
 
  
Комментарии:
+
==== Условный оператор ====
Функция называется сильно представимой, если в свойстве 2 натуральные числа заменить на переменные: <tex>\exists ! b (\alpha (a_1, \dots a_n, b)</tex>
+
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex>
}}
 
  
Комментарии:
+
<tex> \mathrm{if}(c,x,y) = x </tex>
  
Очевидно, что сильно представимая функция также является представимой --- с помощью уже встречавшегося ранее трюка с введением квантора всеобщности, а потом с подстановкой конкретного терма вместо переменной мы можем подставить любые константы вместо переменных.
+
==== Деление ====
 +
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y}  \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.
  
{{Теорема
+
Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>.  
|statement=
 
Функции <tex>Z</tex>, <tex>N</tex>, <tex>U^n_i</tex> являются представимыми.
 
|proof=
 
Наметим доказательство. Для этого приведем формулы, доказательство корректности этих формул оставим в виде упражнения.
 
  
* Примитив <tex>Z</tex> представит формула <tex>Z (a, b) := (a=a \& b=0)</tex>.
+
<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y) </tex>
* Примитив <tex>N</tex> представит формула <tex>N (a, b) := (a' = b)</tex>.
 
* Примитив <tex>U^n_i</tex> представит формула <tex>U^n_i (a_1, ...a_n, b) = (a_1=a_1) \& ... \& (a_n=a_n) \& (b= a_i)</tex>.
 
}}
 
  
{{Теорема
+
<tex>\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),</tex><tex>\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y))</tex>
|statement=
 
Если функции <tex>f</tex> и <tex>g_1</tex>, ... <tex>g_m</tex> представимы, то функция <tex>S\langle{}f,g_1,\dots g_m\rangle</tex> также представима.
 
|proof=
 
Поскольку функции <tex>f</tex> и <tex>g_i</tex> представимы, то есть формулы <tex>F</tex> и <tex>G_1, \dots G_m</tex>, их представляющие. Тогда следующая формула представит <tex>S\langle{}f,g_1,\dots g_m\rangle</tex>: <tex>S (a_1, \dots a_n, b) := \exists b_1 \dots \exists b_m
 
  (G_1 (a_1, \dots a_n, b_1) \& \dots \& G_m (a_1, \dots a_n, b_m) \& F (b_1, \dots b_m, b))</tex>
 
}}
 
  
{{Определение
+
Теперь само деления
|definition=
 
Характеристическая функция арифметического отношения <tex>R</tex> &mdash; это функция <tex>C_R (x_1, ... x_n) = \left\{\begin{array}{ll}0 &R (x_1,...x_n)\\1 & R (x_1,...x_n) \textrm{ неверно}\end{array}\right.</tex>
 
}}
 
  
Очевидно, что характеристическая функция представима тогда и только тогда, когда отношение выразимо.
+
<tex> \mathrm{divide}(0,y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
  
{{Определение
+
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) </tex>
|definition=
 
<tex>\beta</tex>-функция Геделя - это функция <tex>\beta (b,c,i) = b \% (1 + c \cdot (i + 1))</tex>. Здесь операция (%) означает взятие остатка от целочисленного деления.
 
}}
 
  
{{Лемма
+
Остаток от деления выражается так:
|statement=
 
Функция примитивно-рекурсивна, и при этом представима в арифметике формулой <tex>B (b,c,i,d) := \exists q ((b = q \cdot (1 + c \cdot (i+1)) + d) \& (d < 1 + c \cdot (i+1)))</tex>
 
|proof=
 
Упражнение.
 
}}
 
  
{{Лемма
+
<tex> \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) </tex>
|statement=
 
Для любой конечной последовательности чисел <tex>k_0</tex> ... <tex>k_n</tex> можно подобрать такие константы <tex>b</tex> и <tex>c</tex>, что <tex>\beta (b,c,i) = k_i</tex> для <tex>0 \le i \le n</tex>.
 
|proof=
 
Возьмем число <tex>c = max(k_1,\dots k_n,n)!</tex>. Рассмотрим числа <tex>u_i = 1 + c \cdot (i+1)</tex>.
 
  
* Никакие числа <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> <tex>(0 \le j < i \le n)</tex> не имеют общих делителей кроме 1. Пусть это не так, и есть некоторый общий делитель <tex>p</tex> (очевидно, мы можем предположить его простоту &mdash; разложив на множители, если он составной). Тогда <tex>p</tex> будет делить <tex>u_i - u_j = c \cdot (i - j)</tex>, при этом <tex>p</tex> не может делить <tex>c</tex> &mdash; иначе окажется, что <tex>u_i = (1 + c \cdot (i+1))</tex> делится на <tex>p</tex> и <tex>c \cdot (i+1)</tex> делится на <tex>p</tex>. Значит, <tex>p</tex> делит <tex>i-j</tex>, то есть все равно делит <tex>c</tex>, так как <tex>c</tex> &mdash; факториал некоторого числа, не меньшего <tex>n</tex>, и при этом <tex>i-j \le n</tex>.
+
==== Работа со списками фиксированной длины ====
* Каждое из чисел <tex>k_i</tex> меньше, чем <tex>u_i</tex>: в самом деле, <tex>k_i \le c < 1 + c \cdot (i+1) = u_i</tex>.
+
С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа.
* Согласно китайской теореме об остатках, если некоторые натуральные числа <tex>k_0, \dots k_n</tex> попарно взаимно просты, то для любых целых чисел <tex>u_0, \dots u_n</tex>, таких, что <tex>0 \le k_i < u_i</tex>, найдется такое целое число <tex>b</tex>, для которого выполнено <tex>k_i = b \% u_i</tex>. Возьмем <tex>b</tex>, подсказываемое теоремой об остатках.
+
Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
}}
+
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.
  
 +
==Теоремы==
 +
===Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=
+
|statement= Если для  [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex>  на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно  <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex>  примитивно рекурсивная функция.  
Всякая рекурсивная функция представима в арифметике.
 
 
|proof=
 
|proof=
Представимость первых четырех примитивов уже показана. Покажем представимость примитивной рекурсии и операции минимизации.
+
Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где:
 +
 
 +
*<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.
 +
 
 +
*<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды. 
 +
 
 +
*<tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния.
 +
 
 +
*<tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты.
  
Пусть есть некоторый <tex>R \langle{} f,g \rangle</tex>. Соответственно, <tex>f</tex> и <tex>g</tex> уже представлены как некоторые формулы <tex>F</tex> и <tex>G</tex>. Из определения <tex>R\langle{}f,g\rangle</tex> мы знаем, что для значения <tex>R \langle{} f,g \rangle (x_1,...x_{n+1})</tex> должна существовать последовательность <tex>a_0 ... a_{x_{n+1}}</tex> результатов применения функций f и g &mdash; значений на одно больше, чем итераций в цикле примитивной рекурсии, а это количество определяется последним параметром функции <tex>R \langle{}f,g\rangle</tex>. При этом:
+
Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние.
 +
Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в <tex> C </tex> записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в <tex> L </tex> и <tex> R </tex> в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в <tex> C </tex> записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в <tex> S </tex> записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода {{---}} примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций <tex> \mathrm{if} </tex> следует что и <tex> \mathrm{f} </tex> также является примитивно рекурсивной функцией.
  
Значит, по лемме, должны существовать такие числа <tex>b</tex> и <tex>c</tex>, что <tex>\beta (b,c,i) = a_i</tex> для <tex>0 \le i \le x_{n+1}</tex>.
+
Функции преобразование аргументов в формат входных данных для [[Машина Тьюринга|МТ]] и получения ответа по состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их <tex>\mathrm{IN} </tex> и <tex> \mathrm{OUT} </tex>.
  
Приведенные рассуждения позволяют построить следующую формулу, представляющую <tex>R\langle{}f,g\rangle (x_1, ... x_{n+1})</tex>:
+
Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] после <tex> t </tex> шагов.
 +
Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция.
  
 +
<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex>
  
Рассмотрим конструкцию <tex>\mu\langle{}f\rangle</tex>. <tex>f</tex> уже представлено как некоторая формула <tex>F</tex>. Тогда формула <tex>M (x_1, \dots x_n,y) := F(x_1, \dots x_n,y,0) \& \forall z (z < y \rightarrow \neg F (x_1, \dots x_n,z,0))</tex> представит <tex>\mu\langle{}f\rangle</tex>.
+
<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) </tex>
  
 +
Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция.   
 
}}
 
}}
 +
 +
==См. также ==
 +
* [[Лямбда-исчисление]]
 +
* [[Частично рекурсивные функции]]
 +
 +
==Источники информации ==
 +
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция]
 +
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]
 +
 +
[[Категория: Теория формальных языков]]
 +
[[Категория: Теория вычислимости]]
 +
[[Категория: Вычислительные формализмы]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

<< >>

Рекурсивные функции

Строительные блоки рекурсивных функций

Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:

  1. [math]\mathrm{Z}[/math] — ноль.
  2. [math]\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{Z}(x) = 0[/math]

  3. [math]\mathrm{N}[/math] — инкремент.
  4. [math]\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{N}(x) = x'[/math], где [math]x' = x + 1[/math].

  5. [math]\mathrm{U^n_i}[/math] — проекция ([math]i[/math]-ый аргумент среди [math]n[/math]).
  6. [math]\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i[/math]

  7. [math]\mathrm{S}[/math]—подстановка.
  8. Если [math]\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math] и [math]\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}[/math], то [math]\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}[/math]. При этом [math]\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))[/math]

  9. [math]\mathrm{R}[/math] — примитивная рекурсия.
  10. Если [math]\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math] и [math]\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}[/math], то [math]\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}[/math], при этом [math]\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, \ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n) & y = 0\\ \mathrm{g}(x_1, \ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1, \ldots, x_n,y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right.[/math]

  11. [math]\mu[/math] — минимизация.
  12. Если [math]\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}[/math], то [math]\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math], при этом [math]\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)[/math] — такое минимальное число [math]y[/math], что [math]\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0[/math]. Если такого [math]y[/math] нет, результат данного примитива неопределен.

Определение:
Если некоторая функция [math]\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math] может быть задана с помощью данных примитивов(англ. primitive), то она называется рекурсивной (англ. recursive).


Примитивно рекурсивные функции

Определение:
Примитивно рекурсивными (англ. Primitively recursive) называют функции, которые можно получить с помощью правил [math]1[/math][math]5[/math].

Заметим, что если [math] \mathrm{f} [/math][math]n[/math]-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве [math] \mathbb{N}^{n} [/math], так как [math] \mathrm{f} [/math] получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.

Определение:
Тотальность (англ. Total Function) — функция, определенная для всех возможных входных данных.


Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:

  • В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
  • В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка [math] \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) [/math] эквивалентна [math] \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) [/math], но если [math] \mathrm{F} [/math] не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.

Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях

n-местный ноль

[math] \textbf 0 [/math] — функция нуля аргументов.

[math] \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) [/math]

[math] \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) [/math]

Теперь вместо функции [math]\mathrm{Z}(x)[/math] будем использовать константу [math]\textbf 0[/math], обозначив ее как [math]\mathrm{Z}(x)[/math].

Константа [math] \textbf M [/math]

[math] \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))[/math]

[math] \textbf M^n [/math][math]n[/math]-местная константа, получается аналогичным к [math] \textbf 0^n [/math] образом.

Сложение

[math] \mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)[/math], где

[math] \mathrm{f}(x) = x [/math]

[math] \mathrm{g}(x, y, z) = \mathrm{N}(z) [/math]


[math] \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\ \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right.[/math]

[math]=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right.[/math]

[math]=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right. [/math]

Можно преобразовать в более простой вид.

[math] \mathrm{sum}(x,0) = x [/math]

[math] \mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) [/math]

Умножения

[math] \mathrm{prod}(x,0) = \mathrm{Z}(x) [/math]

[math] \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) [/math]

Вычитания

Если [math] x \leqslant y [/math], то [math] \mathrm{sub}(x,y) = 0 [/math] , иначе [math] \mathrm{sub}(x,y) = x - y [/math].

Рассмотрим сначала вычитания единицы [math] \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 [/math]

[math] \mathrm{sub_1}(0) = \mathrm{Z}(0) [/math]

[math] \mathrm{sub_1}(x+1) = x [/math]

Теперь рассмотрим [math] \mathrm{sub}(x,y) [/math]

[math] \mathrm{sub}(x,0) = x [/math]

[math] \mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1)) [/math]

Операции сравнения

[math] \mathrm{eq}(x,y) = 1 [/math] если [math] x = y [/math], иначе [math] \mathrm{eq}(x,y) = 0 [/math]

[math] \mathrm{le}(x,y) = 1 [/math] если [math] x \leqslant y [/math], иначе [math] \mathrm{lq}(x,y) = 0 [/math]

[math] \mathrm{lower}(x,y) = 1 [/math] если [math] x \lt y [/math], иначе [math] \mathrm{lower}(x,y) = 0 [/math]

Сначала выразим [math] \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) [/math]

[math] \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) [/math]

[math] \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) [/math] , где [math] \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \mathrm{Z}(x,y-1) [/math]

Теперь все остальные функции

[math] \mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y)) [/math]

[math] \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) [/math]

[math] \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) [/math]

Условный оператор

[math] \mathrm{if}(0,x,y) = y [/math]

[math] \mathrm{if}(c,x,y) = x [/math]

Деление

[math] \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor [/math], если [math] y \gt 0 [/math]. Если же [math] y = 0 [/math], то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.

Сначала определим [math] \mathrm{divmax}(x,y) [/math] — функция равна максимальному числу меньшему или равному [math] x[/math], которое нацело делится на [math] y [/math].

[math] \mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y) [/math]

[math]\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),[/math][math]\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y))[/math]

Теперь само деления

[math] \mathrm{divide}(0,y) = \mathrm{Z}(y) [/math]

[math] \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) [/math]

Остаток от деления выражается так:

[math] \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) [/math]

Работа со списками фиксированной длины

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск [math] n [/math]-ого простого числа. Рассмотрим список из натуральны чисел [math] [x_1,\ldots,x_n] [/math], тогда ему в соответствия можно поставить число [math] p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} [/math], где [math]p_i[/math][math]i[/math]-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие [math] i [/math] - того элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

Теоремы

Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций

Теорема:
Если для вычислимой функции [math] \mathrm{F} [/math] существует примитивно рекурсивная функция [math] \mathrm{T} [/math], такая что для любых аргументов [math] args [/math] максимальное количество шагов, за которое будет посчитана [math] \mathrm{F}(x) [/math] на МТ равно [math] \mathrm{T}(args) [/math], то [math] \mathrm{F} [/math] примитивно рекурсивная функция.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Каждому состоянию МТ поставим в соответствие список из четырех чисел [math] [L,R,S,C] [/math], где:

  • [math] L [/math] — состояние МТ слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту МТ. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.
  • [math] R [/math] — состояние МТ справа от головки, представлено аналогично [math] L [/math] только возле головки МТ находятся старшие разряды.
  • [math] S [/math] — номер текущего состояния.
  • [math] C [/math] — символ на который указывает головка ленты.

Тогда всем переходам соответствует функция [math] \mathrm{f}([L,R,S,C]) [/math] принимающая состояние МТ и возвращающая новое состояние. Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в [math] C [/math] записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в [math] L [/math] и [math] R [/math] в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в [math] C [/math] записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в [math] S [/math] записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода — примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций [math] \mathrm{if} [/math] следует что и [math] \mathrm{f} [/math] также является примитивно рекурсивной функцией.

Функции преобразование аргументов в формат входных данных для МТ и получения ответа по состоянию МТ также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их [math]\mathrm{IN} [/math] и [math] \mathrm{OUT} [/math].

Рассмотрим функцию двух аргументов [math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t) [/math] которая принимает состояние МТ , число шагов [math] t [/math] и возвращает состояние МТ после [math] t [/math] шагов. Покажем что [math]\mathrm{N}[/math] — примитивно рекурсивная функция.

[math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] [/math]

[math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) [/math] , где [math] \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) [/math]

Вместо [math] t [/math] подставим [math] \mathrm{T}(args) [/math] и в итоге получим что [math] \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) [/math] — примитивно рекурсивная функция.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации