Произведение Адамара рациональных производящих функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример произведения Адамара рациональных производящих функций)
(Рациональность произведения Адамара)
 
(не показано 13 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных производящих функций {{---}} их замкнутость относительно произведения Адамара.
+
Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных [[Производящая функция|производящих функций]] {{---}} их замкнутость относительно произведения Адамара.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition = '''Произведением Адамара''' (англ. ''Hadamard product'') производящих функций <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> называется производящая функция <tex>A(s) \circ B(s) = (a_0  b_0) + (a_1  b_1) s + (a_2  b_2) s^2 + \dots</tex>.
 
|definition = '''Произведением Адамара''' (англ. ''Hadamard product'') производящих функций <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> называется производящая функция <tex>A(s) \circ B(s) = (a_0  b_0) + (a_1  b_1) s + (a_2  b_2) s^2 + \dots</tex>.
 
}}
 
}}
 
Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей {{---}} это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара уже встречалась: в [[Задача о счастливых билетах|задаче о числе счастливых билетов]] нам понадобилось вычислить сумму квадратов коэффициентов производящего многочлена <tex>A_3</tex>. Эта необходимость возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно <tex>a_n</tex>, а число объектов второго типа <tex>b_n</tex> то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно <tex>a_n b_n</tex>.
 
Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей {{---}} это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара уже встречалась: в [[Задача о счастливых билетах|задаче о числе счастливых билетов]] нам понадобилось вычислить сумму квадратов коэффициентов производящего многочлена <tex>A_3</tex>. Эта необходимость возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно <tex>a_n</tex>, а число объектов второго типа <tex>b_n</tex> то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно <tex>a_n b_n</tex>.
 +
 +
==Рациональность произведения Адамара==
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 10: Строка 12:
 
  \dots, p_l(n)</tex>, что начиная с некоторого номера <tex>n</tex>  
 
  \dots, p_l(n)</tex>, что начиная с некоторого номера <tex>n</tex>  
 
<tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>
 
<tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>
Выражение в правой части равенства называется квазимногочленом от переменной <tex>n</tex>.
+
Выражение в правой части равенства называется '''квазимногочленом''' (англ. ''quasypolynomial'') от переменной <tex>n</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
  
Строка 17: Строка 19:
 
Заметим прежде всего, что производящая функция <tex>(1 - q s)^{-k}</tex> имеет вид
 
Заметим прежде всего, что производящая функция <tex>(1 - q s)^{-k}</tex> имеет вид
  
<tex>(1 - q s)^{-k} = 1 - {-k \choose 1} q s + {-k \choose 2} q^{2} s^{2} - {-k\choose 3} q^{3} s^{3} + \dots = </tex>
+
<tex>(1 - q s)^{-k} = 1 - \begin{pmatrix} -k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} -k \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} - \begin{pmatrix} -k \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots = </tex>
:::<tex> = 1+ {k \choose 1} q s + {k + 1 \choose 2} q^{2} s^{2} + {k + 2 \choose 3} q^{3} s^{3} + \dots =</tex>
+
:::<tex> = 1+ \begin{pmatrix} k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots =</tex>
:::<tex> = 1 + {k \choose k - 1} q s + {k + 1 \choose k - 1} q^{2} s^{2} + {k + 2 \choose k - 1} q^{3} s^{3} + \dots</tex>
+
:::<tex> = 1 + \begin{pmatrix} k \\ k-1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ k-1 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ k-1 \end{pmatrix}q^{3} s^{3} + \dots</tex>
  
 
Коэффициент при <tex>s^n</tex> в этой производящей функции равен
 
Коэффициент при <tex>s^n</tex> в этой производящей функции равен
Строка 43: Строка 45:
 
является тоже рациональной. Проще говоря, произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.
 
является тоже рациональной. Проще говоря, произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.
  
|proof= Для доказательства теоремы осталось заменить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>}}
+
|proof= Для доказательства теоремы осталось заметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n</tex>.}}
 
 
=====Пример произведения Адамара рациональных производящих функций=====
 
 
 
В целом, Произведение Адамара двух рациональных производящих функций тоже рационально. Это видно, заметив, что коэффициенты рациональной производящей функции образуют квазимногочлен вида
 
<tex>f_n = p_1(n) p_1^n+\dots+p_l(n) p_l^n</tex>,
 
 
 
Где взаимные корни, <tex>p_i \in \mathbb{C}</tex>, являются фиксированными скалярами и где <tex>p_i(n)</tex> это многочлен от <tex>n</tex> для всех <tex>1 \leqslant i \leqslant l</tex>. Для примера произведение Адамара двух производящих функций:
 
 
 
<tex>F(z) = \dfrac{1}{1 + a_1 z + a_2 z^2}</tex>
 
 
 
и
 
 
 
<tex>G(z) = \dfrac{1}{1 + b_1 z + b_2 z^2}</tex>
 
 
 
Задаются формулами рациональных производящих функций, тогда их произведение Адамара будет тоже рациональная производящая функция
 
 
 
<tex>(F \circ G)(z) = \dfrac{1 - a_2 b_2 z^2}{1 - a_1 b_1 z + (a_2 b_1^2 + a_1^2 b_2 - a_2 b_2) z^2 - a_1 a_2 b_1 b_2 z^3 + a_2^2 b_2^2 z^4}</tex>
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 19:20, 1 марта 2018

Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных производящих функций — их замкнутость относительно произведения Адамара.

Определение:
Произведением Адамара (англ. Hadamard product) производящих функций [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] и [math]B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots[/math] называется производящая функция [math]A(s) \circ B(s) = (a_0 b_0) + (a_1 b_1) s + (a_2 b_2) s^2 + \dots[/math].

Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей — это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара уже встречалась: в задаче о числе счастливых билетов нам понадобилось вычислить сумму квадратов коэффициентов производящего многочлена [math]A_3[/math]. Эта необходимость возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно [math]a_n[/math], а число объектов второго типа [math]b_n[/math] то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно [math]a_n b_n[/math].

Рациональность произведения Адамара[править]

Лемма:
Производящая функция для последовательности [math]a_0, a_1, a_2, \dots[/math] рациональна тогда и только тогда, когда существуют такие числа [math]q_1, \dots, q_l[/math] и такие многочлены [math]p_1(n), \dots, p_l(n)[/math], что начиная с некоторого номера [math]n[/math]

[math]a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.[/math]

Выражение в правой части равенства называется квазимногочленом (англ. quasypolynomial) от переменной [math]n[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math]

Заметим прежде всего, что производящая функция [math](1 - q s)^{-k}[/math] имеет вид

[math](1 - q s)^{-k} = 1 - \begin{pmatrix} -k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} -k \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} - \begin{pmatrix} -k \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots = [/math]

[math] = 1+ \begin{pmatrix} k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots =[/math]
[math] = 1 + \begin{pmatrix} k \\ k-1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ k-1 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ k-1 \end{pmatrix}q^{3} s^{3} + \dots[/math]

Коэффициент при [math]s^n[/math] в этой производящей функции равен

[math]\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}[/math],

где [math]P_{k - 1}(n)[/math] — многочлен от [math]n[/math] степени [math]k - 1[/math]. Всякая рациональная функция от переменной [math]s[/math] представляется в виде линейной комбинации многочлена и элементарных дробей вида [math](1 - q_i s)^{-k_i}[/math], поэтому коэффициенты соответствующей производящей функции являются квазимногочленами.

[math]\Leftarrow[/math]

Наоборот, предположим, что коэффициенты производящей функции, начиная с некоторого номера, представляются в виде квазимногочлена. Покажем, что в случае квазимногочлена [math]p(n) q^{n}[/math] соответствующая производящая функция рациональна. Пусть степень многочлена [math]p[/math] равна [math]k - 1[/math]. Многочлены [math]P_0, P_1, \dots, P_{k - 1}[/math], определенные равенством [math]\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}[/math], образуют базис в пространстве многочленов степени не выше [math] k - 1[/math]. Действительно, любая последовательность многочленов степеней [math]0, 1, \dots, k - 1[/math] образует базис в этом пространстве. Поэтому многочлен [math]p[/math] представляется в виде линейной комбинации многочленов [math]P_i[/math] и соответствующая производящая функция есть просто линейная комбинация функций [math](1 - q s)^{-j}[/math], [math]j = 0, 1, \dots, k - 1[/math].

Для произвольного квазимногочлена мы получаем линейную комбинацию функций такого вида при разных [math]q_i[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Предположим, что производящие функции для последовательностей [math]a_0, a_1, a_2, \dots[/math] и [math]b_0, b_1, b_2, \dots[/math]

[math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] и [math]B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots[/math]

являются рациональными. Значит производящая функция для их произведения Адамара

[math]A(s) \circ B(s) = (a_0 b_0) + (a_1 b_1) s + (a_2 b_2) s^2 + \dots[/math].

является тоже рациональной. Проще говоря, произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства теоремы осталось заметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы [math]a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]