Произведение Адамара рациональных производящих функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство теоремы)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 38 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
==Определение==
+
Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных [[Производящая функция|производящих функций]] {{---}} их замкнутость относительно произведения Адамара.
 
 
Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных производящих функций {{---}} их замкнутость относительно произведения Адамара.
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition = '''Произведением Адамара''' (англ. ''Hadamard product'') производящих функций <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> называется производящая функция <tex>A(s) \circ B(s) = (a_0  b_0) + (a_1  b_1) s + (a_2  b_2) s^2 + \dots</tex>.
 
|definition = '''Произведением Адамара''' (англ. ''Hadamard product'') производящих функций <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> называется производящая функция <tex>A(s) \circ B(s) = (a_0  b_0) + (a_1  b_1) s + (a_2  b_2) s^2 + \dots</tex>.
 
}}
 
}}
Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей {{---}} это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара уже встречалась: в задаче о числе счастливых билетов нам понадобилось вычислить сумму квадратов коэффициентов производящего многочлена <tex>A_3</tex>. Эта необходимость возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно <tex>a_n</tex>, а число объектов второго типа <tex>b_n</tex> то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно <tex>a_n b_n</tex>.
+
Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей {{---}} это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара уже встречалась: в [[Задача о счастливых билетах|задаче о числе счастливых билетов]] нам понадобилось вычислить сумму квадратов коэффициентов производящего многочлена <tex>A_3</tex>. Эта необходимость возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно <tex>a_n</tex>, а число объектов второго типа <tex>b_n</tex> то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно <tex>a_n b_n</tex>.
==Теорема==
+
 
{{Теорема
+
==Рациональность произведения Адамара==
|statement=Произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.}}
+
 
Для доказательства этой теоремы нам понадобится новая характеризация рациональных производящих функций.
 
==Лемма==
 
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 +
|id=lemma1
 
|statement=Производящая функция для последовательности <tex>a_0, a_1,
 
|statement=Производящая функция для последовательности <tex>a_0, a_1,
 
  a_2, \dots</tex> рациональна тогда и только тогда, когда существуют такие числа <tex>q_1, \dots, q_l</tex> и такие многочлены <tex>p_1(n),
 
  a_2, \dots</tex> рациональна тогда и только тогда, когда существуют такие числа <tex>q_1, \dots, q_l</tex> и такие многочлены <tex>p_1(n),
 
  \dots, p_l(n)</tex>, что начиная с некоторого номера <tex>n</tex>  
 
  \dots, p_l(n)</tex>, что начиная с некоторого номера <tex>n</tex>  
 
<tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>
 
<tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>
Выражение в правой части равенства называется квазимногочленом от переменной <tex>n</tex>.
+
Выражение в правой части равенства называется '''квазимногочленом''' (англ. ''quasypolynomial'') от переменной <tex>n</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
  
Строка 23: Строка 20:
 
Заметим прежде всего, что производящая функция <tex>(1 - q s)^{-k}</tex> имеет вид
 
Заметим прежде всего, что производящая функция <tex>(1 - q s)^{-k}</tex> имеет вид
  
<tex>(1 - q s)^{-k} = 1 - {-k \choose 1} q s + {-k \choose 2} q^{2} s^{2} - {-k\choose 3} q^{3} s^{3} + \dots = </tex>
+
<tex>(1 - q s)^{-k} = 1 - \begin{pmatrix} -k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} -k \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} - \begin{pmatrix} -k \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots = </tex>
:::<tex> = 1+ {k \choose 1} q s + {k + 1 \choose 2} q^{2} s^{2} + {k + 2 \choose 3} q^{3} s^{3} + \dots =</tex>
+
:::<tex> = 1+ \begin{pmatrix} k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots =</tex>
:::<tex> = 1 + {k \choose k - 1} q s + {k + 1 \choose k - 1} q^{2} s^{2} + {k + 2 \choose k - 1} q^{3} s^{3} + \dots</tex>
+
:::<tex> = 1 + \begin{pmatrix} k \\ k-1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ k-1 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ k-1 \end{pmatrix}q^{3} s^{3} + \dots</tex>
  
 
Коэффициент при <tex>s^n</tex> в этой производящей функции равен
 
Коэффициент при <tex>s^n</tex> в этой производящей функции равен
  
<tex>\frac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}</tex>,
+
<tex>\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}</tex>,
  
 
где <tex>P_{k - 1}(n)</tex> {{---}} многочлен от <tex>n</tex> степени <tex>k - 1</tex>. Всякая рациональная функция от переменной <tex>s</tex> представляется в виде линейной комбинации многочлена и элементарных дробей вида <tex>(1 - q_i s)^{-k_i}</tex>, поэтому коэффициенты соответствующей производящей функции являются квазимногочленами.
 
где <tex>P_{k - 1}(n)</tex> {{---}} многочлен от <tex>n</tex> степени <tex>k - 1</tex>. Всякая рациональная функция от переменной <tex>s</tex> представляется в виде линейной комбинации многочлена и элементарных дробей вида <tex>(1 - q_i s)^{-k_i}</tex>, поэтому коэффициенты соответствующей производящей функции являются квазимногочленами.
Строка 35: Строка 32:
 
<tex>\Leftarrow</tex>
 
<tex>\Leftarrow</tex>
  
Наоборот, предположим, что коэффициенты производящей функции, начиная с некоторого номера, представляются в виде квазимногочлена. Покажем, что в случае квазимногочлена <tex>p(n) q^{n}</tex> соответствующая производящая функция рациональна. Пусть степень многочлена <tex>p</tex> равна <tex>k - 1</tex>. Многочлены <tex>P_0, P_1, \dots, P_{k - 1}</tex>, определенные равенством <tex>\frac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}</tex>, образуют базис в пространстве многочленов степени не выше <tex> k - 1</tex>. Действительно, любая последовательность многочленов степеней <tex>0, 1, \dots, k - 1</tex> образует базис в этом пространстве. Поэтому многочлен <tex>p</tex> представляется в виде линейной комбинации многочленов <tex>P_i</tex> и соответствующая производящая функция есть просто линейная комбинация функций <tex>(1 - q s)^{-j}</tex>, <tex>j = 0, 1, \dots, k - 1</tex>.
+
Наоборот, предположим, что коэффициенты производящей функции, начиная с некоторого номера, представляются в виде квазимногочлена. Покажем, что в случае квазимногочлена <tex>p(n) q^{n}</tex> соответствующая производящая функция рациональна. Пусть степень многочлена <tex>p</tex> равна <tex>k - 1</tex>. Многочлены <tex>P_0, P_1, \dots, P_{k - 1}</tex>, определенные равенством <tex>\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}</tex>, образуют базис в пространстве многочленов степени не выше <tex> k - 1</tex>. Действительно, любая последовательность многочленов степеней <tex>0, 1, \dots, k - 1</tex> образует базис в этом пространстве. Поэтому многочлен <tex>p</tex> представляется в виде линейной комбинации многочленов <tex>P_i</tex> и соответствующая производящая функция есть просто линейная комбинация функций <tex>(1 - q s)^{-j}</tex>, <tex>j = 0, 1, \dots, k - 1</tex>.
Для произвольного квазимногочлена мы получаем линейную комбинацию функций такого вида при разных <tex>q_i</tex>. Лемма доказана.}}
+
Для произвольного квазимногочлена мы получаем линейную комбинацию функций такого вида при разных <tex>q_i</tex>.}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement= Предположим, что производящие функции для последовательностей <tex>a_0, a_1, a_2, \dots</tex> и <tex>b_0, b_1, b_2, \dots</tex>
 +
 
 +
<tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex>
 +
 
 +
являются рациональными. Значит производящая функция для их произведения Адамара
 +
 
 +
<tex>A(s) \circ B(s) = (a_0  b_0) + (a_1  b_1) s + (a_2  b_2) s^2 + \dots</tex>.
 +
 
 +
является тоже рациональной. Проще говоря, произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.
 +
 
 +
|proof= Для доказательства теоремы осталось заметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n</tex>.}}
 +
 
 +
== Примеры применения теоремы ==
 +
{{Задача
 +
|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}</tex>.
 +
}}
 +
Разобьем дробь на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}=\dfrac{1/5}{1 + 3s} + \dfrac{4/5}{1 - 2s}</tex>.
 +
 
 +
Воспользуемся результатом [[#lemma1|леммы]]: коэффициент при <tex>s^n</tex> равен <tex>\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n}</tex>.
 +
 
 +
Для первой дроби <tex>k = 1,\, q = -3</tex>, для второй: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>.
 +
 
 +
Тогда <tex>a_{n} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (-3)^{n} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (2)^{n} =
 +
\dfrac{(-3)^{n}}{5} + \dfrac{4}{5} \cdot 2^{n} </tex>.
 +
 
 +
{{Задача
 +
|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)}</tex>.
 +
}}
 +
Разобьем на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)} = \dfrac{1/18}{1 + s} + \dfrac{-8/9}{1 - 2s} + \dfrac{1/3}{(1 - 2s)^2} + \dfrac{1/2}{1 - s}</tex>.
 +
 
 +
Первая дробь: <tex>k = 1,\, q = -1</tex>, вторая: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>, третья: <tex>k = 2,\, q = 2</tex>, четвертая: <tex>k = 1,\, q = 1</tex>.
 +
 
 +
Тогда, используя лемму, получаем, что <tex>a_{n} = \dfrac{(-1)^n}{18} - \dfrac{8}{9} \cdot 2^n + \dfrac{n + 1}{(2 - 1)!} \cdot 2^n + \dfrac{1}{2}\cdot 1^n = \left(n + \dfrac{1}{9}\right) \cdot 2^n + (-1)^{n}\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{2}</tex>.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Производящая функция]]
 +
* [[Задача о счастливых билетах]]
  
==Доказательство теоремы==
 
Для завершения доказательства теоремы осталось заменить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>
 
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 144с. ISBN 978-5-94057-042-4
+
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 26с. ISBN 978-5-94057-042-4
 +
* [[wikipedia:en:Generating function transformation | Wikipedia {{---}} Generating function transformation]]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022

Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных производящих функций — их замкнутость относительно произведения Адамара.

Определение:
Произведением Адамара (англ. Hadamard product) производящих функций [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] и [math]B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots[/math] называется производящая функция [math]A(s) \circ B(s) = (a_0 b_0) + (a_1 b_1) s + (a_2 b_2) s^2 + \dots[/math].

Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей — это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара уже встречалась: в задаче о числе счастливых билетов нам понадобилось вычислить сумму квадратов коэффициентов производящего многочлена [math]A_3[/math]. Эта необходимость возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно [math]a_n[/math], а число объектов второго типа [math]b_n[/math] то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно [math]a_n b_n[/math].

Рациональность произведения Адамара

Лемма:
Производящая функция для последовательности [math]a_0, a_1, a_2, \dots[/math] рациональна тогда и только тогда, когда существуют такие числа [math]q_1, \dots, q_l[/math] и такие многочлены [math]p_1(n), \dots, p_l(n)[/math], что начиная с некоторого номера [math]n[/math]

[math]a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.[/math]

Выражение в правой части равенства называется квазимногочленом (англ. quasypolynomial) от переменной [math]n[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math]

Заметим прежде всего, что производящая функция [math](1 - q s)^{-k}[/math] имеет вид

[math](1 - q s)^{-k} = 1 - \begin{pmatrix} -k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} -k \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} - \begin{pmatrix} -k \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots = [/math]

[math] = 1+ \begin{pmatrix} k \\ 1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ 2 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ 3 \end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots =[/math]
[math] = 1 + \begin{pmatrix} k \\ k-1 \end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k+1 \\ k-1 \end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k+2 \\ k-1 \end{pmatrix}q^{3} s^{3} + \dots[/math]

Коэффициент при [math]s^n[/math] в этой производящей функции равен

[math]\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}[/math],

где [math]P_{k - 1}(n)[/math] — многочлен от [math]n[/math] степени [math]k - 1[/math]. Всякая рациональная функция от переменной [math]s[/math] представляется в виде линейной комбинации многочлена и элементарных дробей вида [math](1 - q_i s)^{-k_i}[/math], поэтому коэффициенты соответствующей производящей функции являются квазимногочленами.

[math]\Leftarrow[/math]

Наоборот, предположим, что коэффициенты производящей функции, начиная с некоторого номера, представляются в виде квазимногочлена. Покажем, что в случае квазимногочлена [math]p(n) q^{n}[/math] соответствующая производящая функция рациональна. Пусть степень многочлена [math]p[/math] равна [math]k - 1[/math]. Многочлены [math]P_0, P_1, \dots, P_{k - 1}[/math], определенные равенством [math]\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}[/math], образуют базис в пространстве многочленов степени не выше [math] k - 1[/math]. Действительно, любая последовательность многочленов степеней [math]0, 1, \dots, k - 1[/math] образует базис в этом пространстве. Поэтому многочлен [math]p[/math] представляется в виде линейной комбинации многочленов [math]P_i[/math] и соответствующая производящая функция есть просто линейная комбинация функций [math](1 - q s)^{-j}[/math], [math]j = 0, 1, \dots, k - 1[/math].

Для произвольного квазимногочлена мы получаем линейную комбинацию функций такого вида при разных [math]q_i[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Предположим, что производящие функции для последовательностей [math]a_0, a_1, a_2, \dots[/math] и [math]b_0, b_1, b_2, \dots[/math]

[math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] и [math]B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots[/math]

являются рациональными. Значит производящая функция для их произведения Адамара

[math]A(s) \circ B(s) = (a_0 b_0) + (a_1 b_1) s + (a_2 b_2) s^2 + \dots[/math].

является тоже рациональной. Проще говоря, произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства теоремы осталось заметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы [math]a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры применения теоремы

Задача:
Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции [math]A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}[/math].

Разобьем дробь на сумму простых дробей: [math]A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}=\dfrac{1/5}{1 + 3s} + \dfrac{4/5}{1 - 2s}[/math].

Воспользуемся результатом леммы: коэффициент при [math]s^n[/math] равен [math]\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n}[/math].

Для первой дроби [math]k = 1,\, q = -3[/math], для второй: [math]k = 1,\, q = 2[/math].

Тогда [math]a_{n} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (-3)^{n} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (2)^{n} = \dfrac{(-3)^{n}}{5} + \dfrac{4}{5} \cdot 2^{n} [/math].


Задача:
Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции [math]A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)}[/math].

Разобьем на сумму простых дробей: [math]A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)} = \dfrac{1/18}{1 + s} + \dfrac{-8/9}{1 - 2s} + \dfrac{1/3}{(1 - 2s)^2} + \dfrac{1/2}{1 - s}[/math].

Первая дробь: [math]k = 1,\, q = -1[/math], вторая: [math]k = 1,\, q = 2[/math], третья: [math]k = 2,\, q = 2[/math], четвертая: [math]k = 1,\, q = 1[/math].

Тогда, используя лемму, получаем, что [math]a_{n} = \dfrac{(-1)^n}{18} - \dfrac{8}{9} \cdot 2^n + \dfrac{n + 1}{(2 - 1)!} \cdot 2^n + \dfrac{1}{2}\cdot 1^n = \left(n + \dfrac{1}{9}\right) \cdot 2^n + (-1)^{n}\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{2}[/math].

См. также

Источники информации