Производящая функция Дирихле

Определение:

Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности [math]\{a_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] — это формальный ряд вида: [math]A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}[/math],

Примечание

• Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
• Вместо переменной [math]x[/math] используется [math]s[/math]. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
• Принято писать [math] \frac{a_n}{n^s} [/math] вместо [math] {a_n}{n^{-s}} [/math]. Это считается более удобной формой.

Примеры

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана

Определение:

Дзета-функция Римана (англ. The Riemann zeta function) — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], состоящей из единиц: [math]\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,[/math]

Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. [math][\zeta(s)]^2[/math] является последовательностью количества делителей числа. [math]\mu(n)[/math] — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). [math]H(n)[/math] — последоватльность факторизаций числа. [math]\phi(n)[/math] — функция Эйлера. [math]\lambda(s)[/math] — лямбда функция Дирихле.

[math]f(s)[/math]	Последоватльность	[math]{a_n}[/math]
[math]\zeta(s)[/math]	[math]1[/math]	[math]1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots[/math]
[math]1/\zeta(s)[/math]	[math]\mu(n)[/math]	[math]1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots[/math]
[math][\zeta(s)]^2[/math]	[math]d(n)[/math]	[math]1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots[/math]
[math]\zeta(s)\zeta(s-k)[/math]	[math]\sigma_k(n)[/math]
[math]\zeta(s-1)/\zeta(s)[/math]	[math]\phi(n)[/math]	[math]1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots[/math]
[math]1/[2-\zeta(s)][/math]	[math]H(n)[/math]	[math]1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots[/math]
[math]\lambda(s)[/math]	[math]1/2[1-(-1)^n][/math]	[math]1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots[/math]
[math](\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))[/math]	[math]\psi(n)[/math]	[math]1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots[/math]

Операции

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

Умножение

Если [math]A(s)[/math] и [math]B(s)[/math] — произодящие функции Дирихле двух последовательностей [math]\{a_n\}_{n=1}^\infty[/math] и [math]\{b_n\}_{n=1}^\infty[/math] соответсвенно, то [math]A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}[/math], где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа [math]n[/math] в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.

Сложение

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

//пример

Единица

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция [math]1 = 1 ^ {-s}[/math].

Обратимость

Любая производящая функция Дирихле [math]A(s)[/math] с ненулевым свободным членом, [math]a_1 \neq 0[/math], обратима: для нее существует функция [math]B(s)[/math], такая что [math]A(s)B(s) = 1[/math]

Attention! Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана

Источники информации

• С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год
• Dirichlet Generating Function
• Dirichlet generating functions
• Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера
• Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics