Редактирование: Пространство линейных операторов

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 9: Строка 9:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br>
 
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br>
Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex>
+
 
 +
Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex>
 
}}
 
}}
  
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть(являются) линейные операторы
+
|statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть линейного оператора (замкнуты)
 
|proof = Покажем, что:
 
|proof = Покажем, что:
 
# <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex>
 
# <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex>
Строка 25: Строка 26:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement = <tex>X \times Y</tex> {{---}} линейное пространство над полем <tex>F</tex>
 
|statement = <tex>X \times Y</tex> {{---}} линейное пространство над полем <tex>F</tex>
|proof= Проверим все 8 аксиом лп. Все они будут выполняться:
+
|proof= Проверим все 8 аксиом. Все они будут выполняться.
# <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X \times Y</math> (''коммутативность сложения'');
 
# <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X \times Y</math> (''ассоциативность сложения'');
 
# существует такой элемент <math>\theta \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> (''существование нейтрального элемента относительно сложения''), в частности <math>X \times Y</math> не пусто;
 
# для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (''существование противоположного элемента относительно сложения'').
 
# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''ассоциативность умножения на скаляр'');
 
# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор'').
 
# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров'');
 
# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(''дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов'').
 
 
 
 
}}
 
}}
  
Строка 44: Строка 36:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex>
 
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex>
<tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B}</tex>,
+
<tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{C}</tex>,
 
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex>
 
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex>
  
Строка 55: Строка 47:
 
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex>
 
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex>
 
|proof=  
 
|proof=  
<tex> \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow} A</tex> (единственным образом)
+
}}
 
 
<tex> \{e_i\}_{i=0}^{n}</tex> {{---}} базис <tex>X ;\quad  \{h_k\}_{k=0}^{m}</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>
 
  
Рассмотрим <tex>\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y </tex> по формуле <tex>\mathcal{E}_k^i x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i</tex>
 
  
Матрица <tex>\mathcal{E}^i_k e_j = \delta^i_j h_k</tex>
 
 
<tex>e_j = \begin{pmatrix}
 
0 \\
 
\vdots \\
 
1 \\
 
\vdots \\
 
0
 
\end{pmatrix} \leftarrow j</tex>
 
 
<tex>\mathcal{E}^i_k \longleftrightarrow E^i_k = \begin{pmatrix}
 
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 
\vdots & \  & \vdots & \  & \vdots \\
 
0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
 
\vdots & \  & \vdots & \  & \vdots \\
 
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 
\end{pmatrix} \leftarrow h_k \\
 
</tex>
 
 
Базис <tex>F_n^m</tex> состоит из таких же матриц
 
}}
 
 
{{Теорема
 
|statement = <tex>\{\mathcal{E}^i_k\}^{i = \overline{1, n}}_{k = \overline{1, m}}\ </tex> {{---}} базис <tex>X \times Y</tex>
 
}}
 
  
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
Строка 94: Строка 58:
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)