Пространство линейных операторов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(fix one more mistake)
 
(не показано 11 промежуточных версий 4 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y</tex> <br>
 
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y</tex> <br>
  
Отображение <tex>\mathcal{C}</tex> называется суммой <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x</tex>
+
Отображение <tex>\mathcal{C}</tex> называется суммой <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x</tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br>
 
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br>
 
+
Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex>
Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex>
 
 
}}
 
}}
  
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть линейного оператора (замкнуты)
+
|statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть(являются) линейные операторы
 
|proof = Покажем, что:
 
|proof = Покажем, что:
 
# <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex>
 
# <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex>
Строка 25: Строка 24:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement = <tex>X \times Y</tex> - линейное пространство над полем <tex>F</tex>
+
|statement = <tex>X \times Y</tex> {{---}} линейное пространство над полем <tex>F</tex>
|proof= Проверим все 8 аксиом. Все они будут выполняться.
+
|proof= Проверим все 8 аксиом лп. Все они будут выполняться:
 +
# <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X \times Y</math> (''коммутативность сложения'');
 +
# <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X \times Y</math> (''ассоциативность сложения'');
 +
# существует такой элемент <math>\theta \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> (''существование нейтрального элемента относительно сложения''), в частности <math>X \times Y</math> не пусто;
 +
# для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (''существование противоположного элемента относительно сложения'').
 +
# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''ассоциативность умножения на скаляр'');
 +
# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор'').
 +
# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров'');
 +
# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(''дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов'').
 +
 
 
}}
 
}}
  
Строка 36: Строка 44:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex>
 
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex>
<tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{C}</tex>,
+
<tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B}</tex>,
 
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex>
 
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex>
  
Строка 47: Строка 55:
 
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex>
 
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex>
 
|proof=  
 
|proof=  
 +
<tex> \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow} A</tex> (единственным образом)
 +
 +
<tex> \{e_i\}_{i=0}^{n}</tex> {{---}} базис <tex>X ;\quad  \{h_k\}_{k=0}^{m}</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>
 +
 +
Рассмотрим <tex>\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y </tex> по формуле <tex>\mathcal{E}_k^i x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i</tex>
 +
 +
Матрица <tex>\mathcal{E}^i_k e_j = \delta^i_j h_k</tex>
 +
 +
<tex>e_j = \begin{pmatrix}
 +
0 \\
 +
\vdots \\
 +
1 \\
 +
\vdots \\
 +
0
 +
\end{pmatrix} \leftarrow j</tex>
 +
 +
<tex>\mathcal{E}^i_k \longleftrightarrow E^i_k = \begin{pmatrix}
 +
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 +
\vdots & \  & \vdots & \  & \vdots \\
 +
0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
 +
\vdots & \  & \vdots & \  & \vdots \\
 +
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 +
\end{pmatrix} \leftarrow h_k \\
 +
</tex>
 +
 +
Базис <tex>F_n^m</tex> состоит из таких же матриц
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement = <tex>\{\mathcal{E}^i_k\}^{i = \overline{1, n}}_{k = \overline{1, m}}\ </tex> {{---}} базис <tex>X \times Y</tex>
 
}}
 
}}
 +
 +
== Ссылки ==
 +
* [[Линейный оператор]]
 +
 +
== Источники ==
 +
* Анин конспект
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 +
[[Категория: Линейные операторы]]

Текущая версия на 01:39, 26 июня 2018

Рассмотрим [math]X \times Y = \{[/math] все Л.О. [math]\mathcal{A} \colon X \to Y\}[/math]


Определение:
Пусть [math]\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y[/math]
Отображение [math]\mathcal{C}[/math] называется суммой [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})[/math], если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x[/math]


Определение:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y[/math]
Отображение [math]\mathcal{D}[/math] называется произведением [math]\mathcal{A}[/math] на число [math]\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)[/math], если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x[/math]


Лемма:
[math]\mathcal{C}[/math] и [math]\mathcal{D}[/math] — суть(являются) линейные операторы
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Покажем, что:

  1. [math]\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2[/math]
  2. [math]\mathcal{C}(\lambda x) = \lambda \mathcal{C}x[/math]
Аналогично, покажем то же самое для [math]\mathcal{D}[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
[math]X \times Y[/math] — линейное пространство над полем [math]F[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Проверим все 8 аксиом лп. Все они будут выполняться:

  1. [math]\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}[/math], для любых [math]\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X \times Y[/math] (коммутативность сложения);
  2. [math]\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}[/math], для любых [math]\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X \times Y[/math] (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент [math]\theta \in X \times Y[/math], что [math]\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}[/math] для любого [math]\mathbf{x} \in X \times Y[/math] (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности [math]X \times Y[/math] не пусто;
  4. для любого [math]\mathbf{x} \in X \times Y[/math] существует такой элемент [math]-\mathbf{x} \in X \times Y[/math], что [math]\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta[/math] (существование противоположного элемента относительно сложения).
  5. [math]\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}[/math] (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. [math]1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}[/math] (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
  7. [math](\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}[/math] (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
  8. [math]\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}[/math](дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]X \times Y[/math] называется прямым произведением пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math]


Лемма:
Пусть [math]\mathcal{A} \leftrightarrow A[/math], [math]\mathcal{B} \leftrightarrow B[/math], [math]\mathcal{C} \leftrightarrow C[/math], [math]\mathcal{D} \leftrightarrow D[/math]

[math] \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B}[/math], [math] \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}[/math]

Тогда: [math]C = A + B;\quad D = \lambda A[/math]


Теорема:
Пусть [math]F_n^m = \{[/math] все матрицы [math]A_{[m \times n]} = \begin{Vmatrix} \alpha^i_k \end{Vmatrix},\ \alpha^i_k \in F \}[/math]
[math]X \times Y[/math] изоморфно [math]F_n^m[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow} A[/math] (единственным образом)

[math] \{e_i\}_{i=0}^{n}[/math] — базис [math]X ;\quad \{h_k\}_{k=0}^{m}[/math] — базис [math]Y[/math]

Рассмотрим [math]\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y [/math] по формуле [math]\mathcal{E}_k^i x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i[/math]

Матрица [math]\mathcal{E}^i_k e_j = \delta^i_j h_k[/math]

[math]e_j = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \leftarrow j[/math]

[math]\mathcal{E}^i_k \longleftrightarrow E^i_k = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \vdots & \ & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \vdots & \ & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} \leftarrow h_k \\ [/math]

Базис [math]F_n^m[/math] состоит из таких же матриц
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math]\{\mathcal{E}^i_k\}^{i = \overline{1, n}}_{k = \overline{1, m}}\ [/math] — базис [math]X \times Y[/math]

Ссылки[править]

Источники[править]

  • Анин конспект