Пространство линейных операторов

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Рассмотрим [math]X \times Y = \{[/math] все Л.О. [math]\mathcal{A} \colon X \to Y\}[/math]


Определение:
Пусть [math]\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y[/math]
Отображение [math]\mathcal{C}[/math] называется суммой [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})[/math],\ если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x[/math]


Определение:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y[/math]
Отображение [math]\mathcal{D}[/math] называется произведением [math]\mathcal{A}[/math] на число [math]\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)[/math],\ если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x[/math]


Лемма:
[math]\mathcal{C}[/math] и [math]\mathcal{D}[/math] — суть линейного оператора (замкнуты)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Покажем, что:

  1. [math]\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2[/math]
  2. [math]\mathcal{C}(\lambda x) = \lambda \mathcal{C}x[/math]
Аналогично, покажем то же самое для [math]\mathcal{D}[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
[math]X \times Y[/math] - линейное пространство над полем [math]F[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Проверим все 8 аксиом. Все они будут выполняться.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]X \times Y[/math] называется прямым произведением пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math]


Лемма:
Пусть [math]\mathcal{A} \leftrightarrow A[/math], [math]\mathcal{B} \leftrightarrow B[/math], [math]\mathcal{C} \leftrightarrow C[/math], [math]\mathcal{D} \leftrightarrow D[/math]

[math] \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{C}[/math], [math] \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}[/math]

Тогда: [math]C = A + B;\quad D = \lambda A[/math]


Теорема:
Пусть [math]F_n^m = \{[/math] все матрицы [math]A_{[m \times n]} = \begin{Vmatrix} \alpha^i_k \end{Vmatrix},\ \alpha^i_k \in F \}[/math]
[math]X \times Y[/math] изоморфно [math]F_n^m[/math]