Пространство L p(E)

Эта статья находится в разработке!

(X, \mathcal A, \mu)

E \subset \mathcal A , p \ge 1

L_p(E) = {f - измерима на E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty }, то есть пространство функций, суммируемых с pй степенью на E.

Измеримость f на E принципиальна, так как в общем случае из измеримости |f|^p не вытекает измеримость f.

E_1 - не измеримо и содержится в E.

f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} — не измеримо на E.

E(f(x) \le -1) = E_1 - нет TODO: что нет? o_O

|f(x)| = 1 на E — измерима. Из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

Проверим, что L_p(E) — измеримое множество.

\int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p < + \infty — следует ли \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p < + \infty.

Достаточно доказать, что \int\limits_E |f + g|^p < + \infty.

|f + g|^p \le ( |f| + |g| )^p

E_1 = E(|f| \le |g|), E_2 = E(|f| > |g|), E = E_1 \cup E_2

\int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty , что и требовалось доказать.

Превратим L_p(E) в нормированное пространство:

||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p}

||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 — отождествление функции, совпадают почти всюду.

Свойства интеграла:

||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p

||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p

{\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} — неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужное.

uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1 — неравенство Юнга.

Подставим u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p}:

\frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q}

Интегрируем это неравенство по E.

Так как \frac{|f|^p}{||f||_p^p}(аналогично, g и q), равны 1, получаем:

\int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q — неравенство Гёльдера.

\int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_E (|f| + |g|)^{p-1} |f| + \int\limits_E (|f| + |g|)^{p-1} |g| \le {\left( \int\limits_E |f|^p \right)} ^{1/p} {\left( \int\limits_E (|f| + |g|)^{WTF} \right)}^{\frac1q} + \dots

q = \frac{p}{p-1}, дальше арифметически получаем неравенство Минковского.

Значит, || ||_p — норма, L_p(E) — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.

Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему p \ge 1?

\int\limits_E |f|^p d \mu < + \infty при 0 < p < 1.

Тогда не будет работать неравенство Минковского.

L_p(E) — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс)

f_n \to f \stackerl[def]{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n - f|^p d \mu \to 0

L_p(E) тогда будет ТВП( TODO: чё??), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальный линейный функционал.

Полнота нормированного пространства:

f_n \in L_p(E)

||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n.

Обратное всегда верно: ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p ||f_m - f||_p

f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 — сходимость в себе.

R = [a, b], \lambda — мера Лебега на E.

\int\limits_a^b f(x) dx — Риман

\int\limits_{[a, b]} f d \lambda — Лебег.

\tilda{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \}

Нормированное пространство, но оно не будет полным.

f_n \in \tilda{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0

Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом f_n. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

{{Теорема |about= о полноте |statement= \forall L_p(E) — полное. |proof= \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 по условию теоремы.

E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) — часть E.

\int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p

\delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta — фиксирована.

Тогда \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0.

f_n = f_, \to 0, n, m \to \infty

По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить f_{n_k}, почти везде \to f. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция f в L_p для E_n.

||f_n - f_m||_p \to 0

\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n,m < N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p

Фиксируем \forall m > N и будем вместо n подставлять n_k > N.

f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x)

По теореме Фату: \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sum\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p < \varepsilon^p

Итак, {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon, m > N

Отсюда, f - f_m \in L_p(E)

f = (f - f_m) + f_m и по линейности f \in L_p(E). Тогда неравенство можно переписать: ||f_m - f||_p < \varepsilon \forall m > N. Тогда по определению f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m, полнота доказана.

Примечание: на этапе выделения f_{n_k} \to f — измеримая может получиться, что f — не интегрируема по Риману.