Изменения

[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<<]][[Мера подграфика|>>]] Будем рассматривать <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>.Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>. <tex> L_p(E) = \{f </tex> - [[Определение измеримой функции|измерима]] на <tex> E, \int\limits_E {В разработке|f|}^p d \mu < + \infty \}</tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f| </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.  Пример, который подтверждает это: <tex> E_1 </tex> - не измеримо и содержится в <tex> E </tex>. <tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измерима на <tex> E </tex>, так как ее множество Лебега <tex> E(f(x) \le -1) = E_1 </tex> - неизмеримо. Но <tex> |f(x)| = 1 </tex> на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.  {{Теорема|statement=<tex> L_p(E) </tex> — линейное пространство.|proof=Нам нужно доказать, что если <tex> \int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p < + \infty </tex>, то <tex> \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p < + \infty </tex>.  1) Докажем, что <tex> \int\limits_E |f + g|^p < + \infty </tex>. Очевидно, <tex> |f + g|^p \le ( |f| + |g| )^p </tex>. Пусть <tex> E_1 = E(|f| \le |g|) </tex>,<tex> E_2 = E(|f| > |g|) </tex>,<tex> E = E_1 \cup E_2 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex> 2) Если <tex> \int \limits_E |f|^p < +\infty </tex>, то и <tex> \int \limits_E |\alpha f|^p = |\alpha|^p \int \limits_E |f|^p < +\infty </tex>.  Таким образом, линейность доказана.}}  {{Теорема|statement=<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — [[Нормированные пространства|нормированное пространство]].|proof= 1) <tex> ||f||_p \ge 0</tex>, так как корень <tex>p</tex>-ой степени; <tex> ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду. 2) <tex> ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p </tex> — напрямую следует из линейности интеграла. 3) <tex> ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p </tex>:  Вспомним <tex> {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} </tex> — неравенство Минковского. Если мы получим аналогичное неравенство для интегралов, то полуаддитивность будет доказана. <tex> uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1, p \ge 1, q \ge 1 </tex> — неравенство Юнга. Подставим <tex> u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p} </tex>: <tex> \frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q} </tex> Интегрируем это неравенство по <tex> E </tex>. Так как <tex> \int\limits_E \frac{|f|^p}{||f||_p^p} </tex>(аналогично, <tex> g </tex> и <tex> q </tex>), равны 1, получаем: <tex> \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдера для интегралов. <tex> \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le </tex> <tex> \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q} + {( \int\limits_E |g|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q}</tex> <tex> q = \frac{p}{p-1} </tex>, дальше арифметически получаем неравенство Минковского.}} Значит, <tex> ||\cdot||_p </tex> — норма, <tex> L_p(E) </tex> — нормированное пространство, можно определить предел и т.д. У вдумчивого читателя уже давно должен был возникнуть вопрос — почему <tex> p \ge 1 </tex>? Тогда не будет работать неравенство Минковского, но нет гарантий, что в этом случае нельзя доказать требуемое как-нибудь еще. Ответ получат только те, кто доживет до третьего курса. Там мы покажем, что при <tex> p < 1 L_p(E)</tex> — ТВП(топологическое векторное пространство), но локально выпуклым не является, поэтому там нельзя построить нетривиальный линейный функционал. При рассмотрении нормированных пространств одним из основных вопросов является вопрос их полноты — верно ли, что <tex> ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \Rightarrow f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n </tex>? Иначе говоря, следует ли в этом пространстве обычная сходимость (с пределом, принадлежащим пространству) из сходимости в себе? Напоминаем, обратное всегда верно:  Так как<tex> ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p </tex>, то <tex> f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 </tex> — получили сходимость в себе. <tex> f_n \in L_p(E) </tex> Прежде чем выяснить ответ на этот вопрос, посмотрим, что происходит с [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства|интегралом Римана]]: Пусть <tex> E = [a, b], \lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E </tex>. <tex> \int\limits_a^b f(x) dx </tex> — интеграл Римана. Если взять <tex> \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \} </tex>, то оно будет нормированным пространством, но не будет полным: Даже если <tex> f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0 </tex>, может не найтись предела <tex> f_n </tex>. {{TODO|t=А ДОКАЗАТЬ???}} Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу. {{Теорема|about=о полноте|statement=<tex> L_p(E) </tex> — полное.|proof=По условию теоремы, <tex> \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 </tex>. <tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E </tex>, поэтому <tex> \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex>. <tex> \delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta </tex> — фиксирована. Тогда <tex> \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0 </tex>. <tex> f_n - f_m \Rightarrow 0 </tex> при <tex> n, m \to \infty </tex>. По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить <tex> f_{n_k} </tex>, почти везде сходящуюся к <tex> f </tex>. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция <tex> f </tex> в <tex> L_p </tex> для <tex> E</tex>. <tex> ||f_n - f_m||_p \to 0 </tex>, следовательно,<tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists N: \forall n,m > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p </tex> Фиксируем <tex> \forall m > N </tex> и будем вместо n подставлять <tex> n_k > N </tex>. <tex> f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x) </tex> По теореме Фату: <tex> \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p < \varepsilon^p </tex> Итак, <tex> {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon </tex> при <tex> m > N </tex>. Отсюда, <tex> f - f_m \in L_p(E) </tex>. Но <tex> f = (f - f_m) + f_m </tex> и, по линейности, <tex> f \in L_p(E </tex>). Тогда неравенство можно переписать: <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ \forall m > N </tex>. Тогда по определению <tex> f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m </tex>, полнота доказана. Примечание: на этапе выделения подпоследовательности <tex> f_{n_k} </tex>, стремящейся к <tex> f </tex> почти всюду, может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману. }} == Всюду плотность <tex>C</tex> в <tex>L_p</tex> == {{Теорема|statement=Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=По абсолютной непрерывности интеграла для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>\delta</tex> такое, что для <tex>A \subset E</tex> из <tex>\mu A < \delta</tex> следует <tex>\left| \int\limits_A f^p d\mu \right| < \varepsilon^p</tex>. Далее, рассмотрим множества <tex>A_n = E(|f| > n)</tex>. Очевидно, <tex>\bigcap\limits_{n = 1}^\infty A_n = \varnothing</tex> и <tex>A_{n + 1} \subset A_n</tex>, следовательно, <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu A_n = 0</tex>. Значит, найдётся такое <tex>k</tex>, что <tex>\mu A_k < \delta</tex>. Положим <tex>g(x) = f(x)</tex>, если <tex>x \notin A_k</tex> и <tex>g(x) = 0</tex> иначе. Эта функция измерима и ограничена. Тогда <tex>\|f - g\|^p = \left| \int\limits_E (f - g)^p d\mu \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} (f - g)^p \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} f^p \right| < \varepsilon^p</tex>, то есть, <tex>\|f - g\| < \varepsilon</tex>. Значит, измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.}} {{Теорема|statement=Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=Пусть <tex>f \in L_p</tex>, подберём ограниченную <tex>g</tex>, такую, что <tex>\|f - g\| < \varepsilon / 2</tex>. Пусть <tex>|g| \le K</tex>. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция <tex>\varphi</tex>, что <tex>\mu E(\varphi \neq g) < \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}</tex> и <tex>|\varphi| \le K</tex>. Тогда <tex>\|\varphi - g\|^p = \int\limits_E (\varphi - g)^p d\mu = \int\limits_{E(\varphi \neq g)} (\varphi - g)^p \le (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) < (\varepsilon / 2)^p</tex>, то есть <tex>\|\varphi - g\| < \varepsilon / 2</tex>. По неравенству треугольника, <tex>\|f - \varphi\| < \varepsilon</tex>, следовательно, непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.}} [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<<]][[Мера подграфика|>>]][[Категория:Математический анализ 2 курс]]