Пространство L p(E) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Убрал степени в опровергающем примере в начале)
(викификация)
 
(не показано 9 промежуточных версий 4 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.
 
Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.
  
<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E  {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f| </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.  
+
<tex> L_p(E) = \{f </tex> - [[Определение измеримой функции|измерима]] на <tex> E, \int\limits_E  {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f| </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.  
  
 
Пример, который подтверждает это:
 
Пример, который подтверждает это:
Строка 10: Строка 10:
 
<tex> E_1 </tex> - не измеримо и содержится в <tex> E </tex>.
 
<tex> E_1 </tex> - не измеримо и содержится в <tex> E </tex>.
  
<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измерима на <tex> E </tex>.
+
<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измерима на <tex> E </tex>, так как ее множество Лебега <tex> E(f(x) \le -1) = E_1 </tex> - неизмеримо.
  
 
Но <tex> |f(x)| = 1 </tex> на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.
 
Но <tex> |f(x)| = 1 </tex> на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.
Строка 29: Строка 29:
 
<tex> E = E_1 \cup E_2 </tex>.
 
<tex> E = E_1 \cup E_2 </tex>.
  
Тогда <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex>
+
Тогда
 +
 +
<tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex>
  
 
2) Если <tex> \int \limits_E |f|^p < +\infty </tex>, то и <tex> \int \limits_E |\alpha f|^p = |\alpha|^p \int \limits_E |f|^p < +\infty </tex>.  
 
2) Если <tex> \int \limits_E |f|^p < +\infty </tex>, то и <tex> \int \limits_E |\alpha f|^p = |\alpha|^p \int \limits_E |f|^p < +\infty </tex>.  
Строка 39: Строка 41:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — нормированное пространство.
+
<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — [[Нормированные пространства|нормированное пространство]].
 
|proof=
 
|proof=
  
1) <tex> ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0  </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду. {{TODO|t=ШТО?: http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_3/63_normpr_1.htm - вроде этому можно верить}}
+
1) <tex> ||f||_p \ge 0</tex>, так как корень <tex>p</tex>-ой степени; <tex> ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0  </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду.
  
 
2) <tex> ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p </tex> — напрямую следует из линейности интеграла.
 
2) <tex> ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p </tex> — напрямую следует из линейности интеграла.
Строка 89: Строка 91:
 
<tex> f_n \in L_p(E)  </tex>
 
<tex> f_n \in L_p(E)  </tex>
  
Прежде чем выяснить ответ на этот вопрос, посмотрим, что происходит с интегралом Римана:
+
Прежде чем выяснить ответ на этот вопрос, посмотрим, что происходит с [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства|интегралом Римана]]:
  
 
Пусть <tex> E = [a, b], \lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E </tex>.
 
Пусть <tex> E = [a, b], \lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E </tex>.
Строка 136: Строка 138:
 
Примечание: на этапе выделения подпоследовательности <tex> f_{n_k} </tex>, стремящейся к <tex> f </tex> почти всюду, может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману.
 
Примечание: на этапе выделения подпоследовательности <tex> f_{n_k} </tex>, стремящейся к <tex> f </tex> почти всюду, может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману.
  
 +
}}
 +
 +
== Всюду плотность <tex>C</tex> в <tex>L_p</tex> ==
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
 +
|proof=
 +
По абсолютной непрерывности интеграла для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>\delta</tex> такое, что для <tex>A \subset E</tex> из <tex>\mu A < \delta</tex> следует <tex>\left| \int\limits_A f^p d\mu \right| < \varepsilon^p</tex>.
 +
 +
Далее, рассмотрим множества <tex>A_n = E(|f| > n)</tex>. Очевидно, <tex>\bigcap\limits_{n = 1}^\infty A_n = \varnothing</tex> и <tex>A_{n + 1} \subset A_n</tex>, следовательно, <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu A_n = 0</tex>. Значит, найдётся такое <tex>k</tex>, что <tex>\mu A_k < \delta</tex>. Положим <tex>g(x) = f(x)</tex>, если <tex>x \notin A_k</tex> и <tex>g(x) = 0</tex> иначе. Эта функция измерима и ограничена.
 +
 +
Тогда <tex>\|f - g\|^p = \left| \int\limits_E (f - g)^p d\mu \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} (f - g)^p \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} f^p \right| < \varepsilon^p</tex>, то есть, <tex>\|f - g\| < \varepsilon</tex>. Значит, измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>f \in L_p</tex>, подберём ограниченную <tex>g</tex>, такую, что <tex>\|f - g\| < \varepsilon / 2</tex>. Пусть <tex>|g| \le K</tex>. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция <tex>\varphi</tex>, что <tex>\mu E(\varphi \neq g) < \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}</tex> и <tex>|\varphi| \le K</tex>. Тогда <tex>\|\varphi - g\|^p = \int\limits_E (\varphi - g)^p d\mu = \int\limits_{E(\varphi \neq g)} (\varphi  - g)^p \le (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) < (\varepsilon / 2)^p</tex>, то есть <tex>\|\varphi - g\| < \varepsilon / 2</tex>.
 +
 +
По неравенству треугольника, <tex>\|f - \varphi\| < \varepsilon</tex>, следовательно, непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<<]][[Мера подграфика|>>]]
 
[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<<]][[Мера подграфика|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 23:24, 23 февраля 2015

<<>>

Будем рассматривать [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math]. Пусть [math] E [/math] измеримо, [math] p \ge 1 [/math].

[math] L_p(E) = \{f [/math] - измерима на [math] E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu \lt + \infty \} [/math], то есть пространство функций, суммируемых с [math] p [/math]-ой степенью на [math] E [/math]. Измеримость [math] f [/math] на [math] E [/math] принципиальна, так как в общем случае из измеримости [math] |f| [/math] не вытекает измеримость [math] f [/math].

Пример, который подтверждает это:

[math] E_1 [/math] - не измеримо и содержится в [math] E [/math].

[math] f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} [/math] — не измерима на [math] E [/math], так как ее множество Лебега [math] E(f(x) \le -1) = E_1 [/math] - неизмеримо.

Но [math] |f(x)| = 1 [/math] на [math] E [/math] уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.


Теорема:
[math] L_p(E) [/math] — линейное пространство.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Нам нужно доказать, что если [math] \int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p \lt + \infty [/math], то [math] \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p \lt + \infty [/math].

1) Докажем, что [math] \int\limits_E |f + g|^p \lt + \infty [/math].

Очевидно, [math] |f + g|^p \le ( |f| + |g| )^p [/math].

Пусть [math] E_1 = E(|f| \le |g|) [/math], [math] E_2 = E(|f| \gt |g|) [/math], [math] E = E_1 \cup E_2 [/math].

Тогда

[math] \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) \lt + \infty [/math]

2) Если [math] \int \limits_E |f|^p \lt +\infty [/math], то и [math] \int \limits_E |\alpha f|^p = |\alpha|^p \int \limits_E |f|^p \lt +\infty [/math].

Таким образом, линейность доказана.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
[math] L_p(E) [/math] с нормой, определенной как [math] ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} [/math]нормированное пространство.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) [math] ||f||_p \ge 0[/math], так как корень [math]p[/math]-ой степени; [math] ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 [/math] — отождествление функции, совпадают почти всюду.

2) [math] ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p [/math] — напрямую следует из линейности интеграла.

3) [math] ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p [/math]:

Вспомним [math] {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} [/math] — неравенство Минковского.

Если мы получим аналогичное неравенство для интегралов, то полуаддитивность будет доказана.

[math] uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1, p \ge 1, q \ge 1 [/math] — неравенство Юнга.

Подставим [math] u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p} [/math]:

[math] \frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q} [/math]

Интегрируем это неравенство по [math] E [/math].

Так как [math] \int\limits_E \frac{|f|^p}{||f||_p^p} [/math](аналогично, [math] g [/math] и [math] q [/math]), равны 1, получаем:

[math] \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q [/math] — неравенство Гёльдера для интегралов.

[math] \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le [/math]

[math] \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q} + {( \int\limits_E |g|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q}[/math]

[math] q = \frac{p}{p-1} [/math], дальше арифметически получаем неравенство Минковского.
[math]\triangleleft[/math]

Значит, [math] ||\cdot||_p [/math] — норма, [math] L_p(E) [/math] — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.

У вдумчивого читателя уже давно должен был возникнуть вопрос — почему [math] p \ge 1 [/math]? Тогда не будет работать неравенство Минковского, но нет гарантий, что в этом случае нельзя доказать требуемое как-нибудь еще. Ответ получат только те, кто доживет до третьего курса. Там мы покажем, что при [math] p \lt 1 L_p(E)[/math] — ТВП(топологическое векторное пространство), но локально выпуклым не является, поэтому там нельзя построить нетривиальный линейный функционал.

При рассмотрении нормированных пространств одним из основных вопросов является вопрос их полноты — верно ли, что

[math] ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \Rightarrow f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n [/math]?

Иначе говоря, следует ли в этом пространстве обычная сходимость (с пределом, принадлежащим пространству) из сходимости в себе?

Напоминаем, обратное всегда верно:

Так как[math] ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p [/math], то

[math] f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 [/math] — получили сходимость в себе.

[math] f_n \in L_p(E) [/math]

Прежде чем выяснить ответ на этот вопрос, посмотрим, что происходит с интегралом Римана:

Пусть [math] E = [a, b], \lambda [/math] — мера Лебега на [math] E [/math].

[math] \int\limits_a^b f(x) dx [/math] — интеграл Римана.

Если взять [math] \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx \lt + \infty \} [/math], то оно будет нормированным пространством, но не будет полным:

Даже если [math] f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0 [/math], может не найтись предела [math] f_n [/math]. TODO: А ДОКАЗАТЬ???

Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

Теорема (о полноте):
[math] L_p(E) [/math] — полное.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По условию теоремы, [math] \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 [/math].

[math] E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) [/math] — часть [math] E [/math], поэтому [math] \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p [/math].

[math] \delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta [/math] — фиксирована.

Тогда [math] \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0 [/math].

[math] f_n - f_m \Rightarrow 0 [/math] при [math] n, m \to \infty [/math].

По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить [math] f_{n_k} [/math], почти везде сходящуюся к [math] f [/math]. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция [math] f [/math] в [math] L_p [/math] для [math] E[/math].

[math] ||f_n - f_m||_p \to 0 [/math], следовательно, [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists N: \forall n,m \gt N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \lt \varepsilon^p [/math]

Фиксируем [math] \forall m \gt N [/math] и будем вместо n подставлять [math] n_k \gt N [/math].

[math] f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x) [/math]

По теореме Фату: [math] \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k \gt N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p \lt \varepsilon^p [/math]

Итак, [math] {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} \lt \varepsilon [/math] при [math] m \gt N [/math].

Отсюда, [math] f - f_m \in L_p(E) [/math].

Но [math] f = (f - f_m) + f_m [/math] и, по линейности, [math] f \in L_p(E [/math]). Тогда неравенство можно переписать: [math] ||f_m - f||_p \lt \varepsilon \ \forall m \gt N [/math]. Тогда по определению [math] f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m [/math], полнота доказана.

Примечание: на этапе выделения подпоследовательности [math] f_{n_k} [/math], стремящейся к [math] f [/math] почти всюду, может получиться, что [math] f [/math] — не интегрируема по Риману.
[math]\triangleleft[/math]

Всюду плотность [math]C[/math] в [math]L_p[/math][править]

Теорема:
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По абсолютной непрерывности интеграла для любого [math]\varepsilon[/math] существует [math]\delta[/math] такое, что для [math]A \subset E[/math] из [math]\mu A \lt \delta[/math] следует [math]\left| \int\limits_A f^p d\mu \right| \lt \varepsilon^p[/math].

Далее, рассмотрим множества [math]A_n = E(|f| \gt n)[/math]. Очевидно, [math]\bigcap\limits_{n = 1}^\infty A_n = \varnothing[/math] и [math]A_{n + 1} \subset A_n[/math], следовательно, [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu A_n = 0[/math]. Значит, найдётся такое [math]k[/math], что [math]\mu A_k \lt \delta[/math]. Положим [math]g(x) = f(x)[/math], если [math]x \notin A_k[/math] и [math]g(x) = 0[/math] иначе. Эта функция измерима и ограничена.

Тогда [math]\|f - g\|^p = \left| \int\limits_E (f - g)^p d\mu \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} (f - g)^p \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} f^p \right| \lt \varepsilon^p[/math], то есть, [math]\|f - g\| \lt \varepsilon[/math]. Значит, измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f \in L_p[/math], подберём ограниченную [math]g[/math], такую, что [math]\|f - g\| \lt \varepsilon / 2[/math]. Пусть [math]|g| \le K[/math]. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция [math]\varphi[/math], что [math]\mu E(\varphi \neq g) \lt \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}[/math] и [math]|\varphi| \le K[/math]. Тогда [math]\|\varphi - g\|^p = \int\limits_E (\varphi - g)^p d\mu = \int\limits_{E(\varphi \neq g)} (\varphi - g)^p \le (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) \lt (\varepsilon / 2)^p[/math], то есть [math]\|\varphi - g\| \lt \varepsilon / 2[/math].

По неравенству треугольника, [math]\|f - \varphi\| \lt \varepsilon[/math], следовательно, непрерывные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math].
[math]\triangleleft[/math]

<<>>