Редактирование: Простые числа

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 19: Строка 19:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|about=свойство 1
 
|about=свойство 1
|statement=Если <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_2</tex> '''не [[Натуральные числа#Деление чисел с остатком | делится без остатка]]''' на <tex>p_1</tex>.
+
|statement=Если <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_2</tex> '''не [[Натуральные_и_целые_числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BC|делится без остатка]]''' на <tex>p_1</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Натуральными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex>, и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит, <tex>p_2</tex> не делится на <tex>p_1</tex>.
 
Натуральными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex>, и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит, <tex>p_2</tex> не делится на <tex>p_1</tex>.
Строка 30: Строка 30:
 
Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.  
 
Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.  
  
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.  
+
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k\,q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f\,a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k\,f\,a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.  
 
}}
 
}}
  
Строка 67: Строка 67:
 
|id=th2
 
|id=th2
 
|statement=
 
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}\dfrac{1}{n}</tex> расходится.
+
Ряд <tex>\textstyle \sum_{}^{}1/n</tex> расходится.
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
+
<tex>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
 
}}
 
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \leqslant  k}^{}{(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \leqslant  k} \dfrac{1}{n}</tex>.
+
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le k}^{}{(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \frac{1}{n}</tex>.
 
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
 
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \leqslant  \dfrac{c}{p^2} </tex> расходится.
+
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \le \frac{c}{p^2} </tex> - расходится.
  
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>==
+
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{n}</tex>==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th3
 
|id=th3
 
|statement=
 
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}^{}\dfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> простое, расходится.
+
Ряд <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> - простое, расходится.
 
|proof=
 
|proof=
 
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
 
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
<tex> \ln(1+x) \leqslant  x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \leqslant  \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
+
<tex> \ln(1+x) \le x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \geqslant  \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> расходится.
+
Финально: <tex> \sum_{}^{} \frac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots) - \frac{c}{p^2}]} </tex> - расходится.
 
}}
 
}}
  
 
==См. также==
 
==См. также==
* [[Натуральные числа]]
+
* [[Натуральные и целые числа]]
 
* [[Основная теорема арифметики]]
 
* [[Основная теорема арифметики]]
 
* [[Теоремы о простых числах]]
 
* [[Теоремы о простых числах]]
Строка 97: Строка 97:
 
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.
 
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.
  
[[Категория: Теория чисел]]
+
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)