Простые числа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Определение)
Строка 1: Строка 1:
==Определение==
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>p</tex> называется '''простым''', если <tex>p>1</tex> и <tex>p</tex> не имеет положительных делителей отличных от <tex>1</tex> и <tex>p</tex>
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Простое число''' — это число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя : единицу и самого себя.
+
[[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|Натуральное]] число <tex>n>1</tex> называется '''составным''', если <tex>n</tex> имеет по крайней мере один положительный делитель отличный от <tex>1</tex> и <tex>n</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
==Свойства простых чисел==
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|about=1
 +
|statement=<tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_1</tex> не [[Натуральные_и_целые_числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BC|делится без остатка]] на <tex>p_2</tex>.
 +
|proof=
 +
Положительными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex> и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит <tex>p_1</tex> не делится на <tex>p_2</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|about=2
 +
|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший, отличный от <tex>1</tex> положительный делитель всегда является простым числом
 +
|proof=
 +
Рассмотрим множество <tex>M</tex> {{---}} положительные, отличные от <tex>1</tex> делители числа <tex>n</tex>. Множество M не пусто, так как <tex>n \in M</tex>. Значит в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. Значит <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит <tex>q</tex> простое число.
 +
}}
 +
 
 +
По этой теореме мы получаем алгоритм для поиска простых чисел "[[Решето Эратосфена]]".
 +
 
 +
==Множество простых чисел==
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Множество простых чисел бесконечно
 +
|proof=
 +
Пусть множество простых чисел конечно и состоит из чисел <tex>2,3,5, \dots p</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} последнее, самое большое простое число.
 +
 
 +
Рассмотрим число <tex>N=2*3*5* \dots *p +1</tex>. Число <tex>N</tex> не делится на числа <tex>2, 3, \dots , p</tex>. Так как при делении <tex>N</tex> на эти числа получится остаток <tex>1</tex>.
 +
 
 +
Значит число <tex>N=1</tex> (по утв. <tex>2</tex>). C другой стороны <tex>N>1</tex>. Значит предположение, что множество простых чисел конечно неверно.  
 
}}
 
}}
  
 
Последовательность простых чисел начинается так:
 
Последовательность простых чисел начинается так:
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,
+
: <tex>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, \dots </tex>
 +
 
 +
==См. также==
 +
* [[Натуральные и целые числа]]
 +
* [[Основная теорема арифметики]]
 +
* [[Теоремы о простых числах]]
 +
* [[Разложение на множители (факторизация)]]
 +
 
 +
==Источники инфомации==
 +
* А.А. Бухштаб. "Теория чисел" {{---}} Просвещение. 1966 г. {{---}} с. 28 - 33.
 +
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.
  
 +
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]

Версия 19:23, 27 января 2017

Определение:
Натуральное число [math]p[/math] называется простым, если [math]p\gt 1[/math] и [math]p[/math] не имеет положительных делителей отличных от [math]1[/math] и [math]p[/math]


Определение:
Натуральное число [math]n\gt 1[/math] называется составным, если [math]n[/math] имеет по крайней мере один положительный делитель отличный от [math]1[/math] и [math]n[/math].


Свойства простых чисел

Утверждение (1):
[math]p_1[/math], [math]p_2[/math] — различные простые числа, то [math]p_1[/math] не делится без остатка на [math]p_2[/math].
[math]\triangleright[/math]
Положительными делителями простого числа [math]p_2[/math] являются только [math]1[/math] и [math]p_2[/math]. Простое число [math]p_1 \neq 1[/math] и [math]p_1 \neq p_2[/math]. Значит [math]p_1[/math] не делится на [math]p_2[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (2):
Для любого натурального числа [math]n\gt 1[/math], наименьший, отличный от [math]1[/math] положительный делитель всегда является простым числом
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим множество [math]M[/math] — положительные, отличные от [math]1[/math] делители числа [math]n[/math]. Множество M не пусто, так как [math]n \in M[/math]. Значит в множестве [math]M[/math] существует наименьшее число [math]q\gt 1[/math].

Пусть [math]q[/math] не простое, тогда существует [math]a[/math] такое, что [math]1\lt a\lt q[/math] и [math]q[/math] делится на [math]a[/math]. Так как [math]n[/math] делится на [math]q[/math], то [math] n[/math] делится на [math]a[/math]. Значит [math]q[/math] не наименьшее число в множестве [math]M[/math]. Получили противоречие. Значит [math]q[/math] простое число.
[math]\triangleleft[/math]

По этой теореме мы получаем алгоритм для поиска простых чисел "Решето Эратосфена".

Множество простых чисел

Утверждение:
Множество простых чисел бесконечно
[math]\triangleright[/math]

Пусть множество простых чисел конечно и состоит из чисел [math]2,3,5, \dots p[/math], где [math]p[/math] — последнее, самое большое простое число.

Рассмотрим число [math]N=2*3*5* \dots *p +1[/math]. Число [math]N[/math] не делится на числа [math]2, 3, \dots , p[/math]. Так как при делении [math]N[/math] на эти числа получится остаток [math]1[/math].

Значит число [math]N=1[/math] (по утв. [math]2[/math]). C другой стороны [math]N\gt 1[/math]. Значит предположение, что множество простых чисел конечно неверно.
[math]\triangleleft[/math]

Последовательность простых чисел начинается так:

[math]2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, \dots [/math]

См. также

Источники инфомации

  • А.А. Бухштаб. "Теория чисел" — Просвещение. 1966 г. — с. 28 - 33.
  • И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" — c. 18 - 20.