Простые числа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства простых чисел)
Строка 16: Строка 16:
 
|statement=<tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_1</tex> не [[Натуральные_и_целые_числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BC|делится без остатка]] на <tex>p_2</tex>.
 
|statement=<tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_1</tex> не [[Натуральные_и_целые_числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BC|делится без остатка]] на <tex>p_2</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Положительными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex> и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит <tex>p_1</tex> не делится на <tex>p_2</tex>
+
Положительными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex> и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит <tex>p_1</tex> не делится на <tex>p_2</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|about=2
 
|about=2
|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший, отличный от <tex>1</tex> положительный делитель всегда является простым числом
+
|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший, отличный от <tex>1</tex> положительный делитель всегда является простым числом.
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим множество <tex>M</tex> {{---}} положительные, отличные от <tex>1</tex> делители числа <tex>n</tex>. Множество M не пусто, так как <tex>n \in M</tex>. Значит в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.  
+
Рассмотрим множество <tex>M</tex> {{---}} положительные, отличные от <tex>1</tex> делители числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пусто, так как <tex>n \in M</tex>. Значит в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.  
  
 
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. Значит <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит <tex>q</tex> простое число.  
 
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. Значит <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит <tex>q</tex> простое число.  

Версия 19:27, 27 января 2017

Определение:
Натуральное число [math]p[/math] называется простым, если [math]p\gt 1[/math] и [math]p[/math] не имеет положительных делителей отличных от [math]1[/math] и [math]p[/math]


Определение:
Натуральное число [math]n\gt 1[/math] называется составным, если [math]n[/math] имеет по крайней мере один положительный делитель отличный от [math]1[/math] и [math]n[/math].


Свойства простых чисел

Утверждение (1):
[math]p_1[/math], [math]p_2[/math] — различные простые числа, то [math]p_1[/math] не делится без остатка на [math]p_2[/math].
[math]\triangleright[/math]
Положительными делителями простого числа [math]p_2[/math] являются только [math]1[/math] и [math]p_2[/math]. Простое число [math]p_1 \neq 1[/math] и [math]p_1 \neq p_2[/math]. Значит [math]p_1[/math] не делится на [math]p_2[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (2):
Для любого натурального числа [math]n\gt 1[/math], наименьший, отличный от [math]1[/math] положительный делитель всегда является простым числом.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим множество [math]M[/math] — положительные, отличные от [math]1[/math] делители числа [math]n[/math]. Множество [math]M[/math] не пусто, так как [math]n \in M[/math]. Значит в множестве [math]M[/math] существует наименьшее число [math]q\gt 1[/math].

Пусть [math]q[/math] не простое, тогда существует [math]a[/math] такое, что [math]1\lt a\lt q[/math] и [math]q[/math] делится на [math]a[/math]. Так как [math]n[/math] делится на [math]q[/math], то [math] n[/math] делится на [math]a[/math]. Значит [math]q[/math] не наименьшее число в множестве [math]M[/math]. Получили противоречие. Значит [math]q[/math] простое число.
[math]\triangleleft[/math]

По этой теореме мы получаем алгоритм для поиска простых чисел "Решето Эратосфена".

Множество простых чисел

Утверждение:
Множество простых чисел бесконечно
[math]\triangleright[/math]

Пусть множество простых чисел конечно и состоит из чисел [math]2,3,5, \dots p[/math], где [math]p[/math] — последнее, самое большое простое число.

Рассмотрим число [math]N=2*3*5* \dots *p +1[/math]. Число [math]N[/math] не делится на числа [math]2, 3, \dots , p[/math]. Так как при делении [math]N[/math] на эти числа получится остаток [math]1[/math].

Значит число [math]N=1[/math] (по утв. [math]2[/math]). C другой стороны [math]N\gt 1[/math]. Значит предположение, что множество простых чисел конечно неверно.
[math]\triangleleft[/math]

Последовательность простых чисел начинается так:

[math]2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, \dots [/math]

См. также

Источники инфомации

  • А.А. Бухштаб. "Теория чисел" — Просвещение. 1966 г. — с. 28 - 33.
  • И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" — c. 18 - 20.