Редактирование: Прямое произведение ДКА

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Прямым произведением''' двух [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] <tex>A_1 = \langle \Sigma_1, Q_1, s_1, T_1, \delta_1 \rangle</tex> и <tex>A_2 = \langle \Sigma_2, Q_2, s_2, T_2, \delta_2 \rangle</tex> называется ДКА <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>, где:
+
'''Прямым произведением''' двух [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] <tex>A_1 = \langle \Sigma, Q_1, s_1, T_1, \delta_1 \rangle</tex> и <tex>A_2 = \langle \Sigma, Q_2, s_2, T_2, \delta_2 \rangle</tex> называется ДКА <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>, где:
* <tex>\Sigma = \Sigma_1 \cup \Sigma_2</tex>
+
* <tex>Q = Q_1 \times Q_2,</tex>
* <tex>Q = Q_1 \times Q_2</tex>
+
* <tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle,</tex>
* <tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle</tex>
+
* <tex>T = T_1 \times T_2,</tex>
* <tex>T = T_1 \times T_2</tex>
+
* <tex>\delta(\langle q_1, q_2 \rangle, c) = \langle \delta_1(q_1, c), \delta_2(q_2, c) \rangle.</tex>
* <tex>\delta(\langle q_1, q_2 \rangle, c) = \langle \delta_1(q_1, c), \delta_2(q_2, c) \rangle</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 12: Строка 11:
 
[[Файл:Multi_DKA_source.png]]
 
[[Файл:Multi_DKA_source.png]]
  
Возьмем автоматы:
+
Возьмем автомат <tex>A_1 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_1 = \lbrace s_1, t_1 \rbrace, s_1, T_1 = \lbrace t_1 \rbrace, \delta_1 \rangle</tex> допускающий слова <tex>(0)^*1</tex>, и автомат <tex>A_2 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_2 = \lbrace s_2, q_2, t_{21}, t_{22} \rbrace, s_2, T_2 = \lbrace t_{21}, t_{22} \rbrace, \delta_2 \rangle</tex> допускающий слова <tex>(01)^*</tex>.
* <tex>A_1 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_1 = \lbrace s_1, t_1 \rbrace, s_1, T_1 = \lbrace t_1 \rbrace, \delta_1 \rangle</tex>
 
* <tex>A_2 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_2 = \lbrace s_2, q_2, t_{21}, t_{22} \rbrace, s_2, T_2 = \lbrace t_{21}, t_{22} \rbrace, \delta_2 \rangle</tex>.
 
  
 
[[Файл:Multi_DKA_result.png]]
 
[[Файл:Multi_DKA_result.png]]
 +
 +
Автомат <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex> будет их пересечением.
  
 
Согласно определению:
 
Согласно определению:
#<tex>\Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace</tex>
+
*<tex>\Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace</tex>
#<tex>Q = \lbrace \langle s_1, s_2 \rangle, \langle s_1, q_2 \rangle, \langle s_1, t_{21} \rangle, \langle s_1, t_{22} \rangle, \langle t_1, s_2 \rangle, \langle t_1, q_2 \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle \rbrace</tex>
+
*<tex>Q = \lbrace \langle s_1, s_2 \rangle, \langle s_1, q_2 \rangle, \langle s_1, t_{21} \rangle, \langle s_1, t_{22} \rangle, \langle t_1, s_2 \rangle, \langle t_1, q_2 \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle \rbrace</tex>
#<tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle</tex>
+
*<tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle</tex>
#<tex>T = \lbrace \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{22} \rangle \rbrace</tex>
+
*<tex>T = \lbrace \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{22} \rangle \rbrace</tex>
#<tex>\delta :</tex>
+
*<tex>\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(s_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>
#*<tex>\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(s_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>
+
*<tex>\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(q_2, 1) \rangle = \langle t_1, t_{21} \rangle </tex>
#*<tex>\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(s_2, 1) \rangle = \langle t_1, s_2 \rangle </tex>
+
*<tex>\delta(\langle s_1, t_{21} \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(t_{21}, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>
#*<tex>\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(q_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>
 
#*<tex>\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(q_2, 1) \rangle = \langle t_1, t_{21} \rangle </tex>
 
#*<tex>\ldots</tex>
 
{{Утверждение
 
|statement=Автомат <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>, построенный как прямое произведение автоматов <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> будет их пересечением.
 
|proof=Возьмем слово <tex>\alpha</tex>, которое допускает автомат <tex>A_1</tex> и автомат <tex>A_2</tex>. Выпишем все состояния в порядке допуска слова <tex>\alpha</tex> автоматом <tex>A_1</tex> {{---}} <tex>a_{11}, a_{12},\ldots, a_{1|\alpha|}</tex> и все состояния проходимые при допуске слова автоматом <tex>A_2</tex> {{---}} <tex>a_{21}, a_{22},\ldots, a_{2|\alpha|}</tex>. Построим список пар <tex>\langle a_{1i}, a_{2i} \rangle</tex>,  где <tex>i = 1, 2,\ldots, |\alpha|</tex>. Данный список является списком состояний в процессе допуска слова <tex>\alpha</tex> автоматом <tex>A</tex>, так как:
 
 
 
*<tex>\langle a_{11}, a_{21} \rangle = \langle s_1, s_2 \rangle</tex> {{---}} сохраняется стартовое состояние
 
 
 
*<tex>\delta_1(a_{1i-1},c) = a_{1i}</tex>, <tex>\delta_2(a_{2i-1},c) = a_{2i}</tex>, <tex>\delta( \langle a_{1i-1}, a_{2i-1} \rangle, c) = \langle \delta_1(a_{1i-1},c), \delta_2(a_{2i-1},c) \rangle = \langle a_{1i}, a_{2i} \rangle</tex> {{---}} переходы верны
 
 
 
*<tex>a_{1|\alpha|} \in T_1, a_{2|\alpha|} \in T_2, \langle a_{1|\alpha|}, a_{2|\alpha|} \rangle \in T_1 \times T_2 = T</tex> {{---}} сохраняется терминальное состояние
 
Следовательно автомат <tex>A</tex> допускает слова, которые допускает автомат <tex>A_1</tex> и автомат <tex>A_2</tex>.
 
  
Возьмем слово <tex>\beta</tex>, которое не допускает автомат <tex>A_1</tex> или автомат <tex>A_2</tex>, тогда <tex>a_{1|\beta|}</tex> или <tex>a_{2|\beta|}</tex> {{---}} нетерминальное состояние, следовательно <tex>\langle a_{1|\beta|}, a_{2|\beta|} \rangle \notin T_1 \times T_2</tex>.
+
Действительно, заметим, что только слово <tex>01</tex> допускается автоматом <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> одновременно.
}}
 
  
 
== Применение ==
 
== Применение ==
Изменив конструкцию, можно получить автомат, допускающий разность или объединение двух языков.
+
* С помощью данной конструкции можно построить автомат для [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций|пересечения]] [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]].
=== Объединение ДКА ===
 
[[Файл:Multi_DKA_united.png]]
 
 
 
Необходимо разрешать любую цепочку, удовлетворяющую первому или второму автомату. Для этого сделаем терминальными следующие вершины <tex>T = (T_1 \times Q_2) \cup (Q_1 \times T_2)</tex>. Полученный автомат удовлетворяет нашим требованиям, так как попав в какое-либо состояние из <tex>T_1</tex> или <tex>T_2</tex>, цепочка будет удовлетворять первому или второму автомату соответственно.
 
 
 
=== Разность ДКА ===
 
[[Файл:Multi_DKA_division.png]]
 
 
 
Рассмотрим автомат <tex>\overline{M} = \langle \Sigma , Q , s , Q \setminus T , \delta \rangle </tex>, то есть автомат <tex>M</tex>, в котором терминальные и нетерминальные состояния инвертированы, если в автомате было опущено «дьявольское состояние», его необходимо добавить и сделать терминальным. Очевидно, он допускает те и только те слова, которые не допускает автомат <tex>M</tex>, а значит, задаёт язык <tex>\overline{M}</tex>.
 
 
 
Заметим, что если <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} регулярные языки, то <tex>L \setminus M = L \cap \overline{M}</tex> {{---}} так же регулярный.
 
 
 
Следовательно, надо построить пересечение двух автоматов, предварительно инвертировав во втором терминальные и нетерминальные состояния. Заметим, что меняется только набор терминальных вершин, следовательно в итоговой конструкции произведения ДКА сделаем терминальными следующие вершины <tex>T = T_1 \times (Q_2 \setminus T_2)</tex>.
 
 
 
 
 
Таким образом получено альтернативное доказательство [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций|замкнутости регулярных языков относительно теоретико-множественных операций]].
 
 
 
== См. также ==
 
* [[Детерминированные конечные автоматы]]
 
* [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций]]
 
 
 
== Источники информации ==
 
* [[wikipedia:Deterministic_finite_automaton | Wikipedia {{---}} Deterministic finite automaton]]
 
* [http://www.andrew.cmu.edu/user/ko/pdfs/lecture-3.pdf Lecture "Formal languages, automata and computation" : Carnegie Mellon University in Qatar]
 
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 152-154.
 
 
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)