Редактирование: Разрешимые (рекурсивные) языки

== Основные определения == 
{{Определение
|definition= '''Рекурсивный язык''' (англ. ''recursive language'') <tex>L</tex> {{---}} язык, для которого существует программа 

<tex>p(w) = \begin{cases}
1, \ w \in L \\
0, \ w \notin L
\end{cases}
</tex>
}}

{{Определение
|definition = Язык <tex>L</tex> называется '''разрешимым''', если существует такая [[Вычислимые функции | вычислимая]] функция <tex>f : \Sigma^* \to \{0, 1\} : x \in L \Leftrightarrow f(x) = 1</tex>.
}}
Если  мы  рассматриваем  язык   <tex>L</tex>  как  проблему,  то  проблема  называется  ''разрешимой'',  если  язык  <tex>L</tex>  ''рекурсивный''.  В  противном  случае  проблема  называется  ''неразрешимой''. Но часто данные понятия просто отождествляются.

{{Определение
|definition= '''Класс всех разрешимых (рекурсивных) языков''' (англ. ''Class of decidable (recursive) languages'') часто обозначается буквой <tex> \mathrm{R} </tex>.
}}

{{Определение
|id=uni
|definition='''Универсальный язык''' (англ. ''universal language'') <tex> \  U = \{\langle p, x \rangle \ |\ p(x) = 1\} </tex>.
}}

Другими словами, ''универсальный язык'' {{---}} это язык всех таких пар "программа и её вход", что программа на входе возвращает <tex>1</tex>. 

Рассмотрим данное определение более детально, для чего докажем вспомогательную лемму:

{{Лемма
|statement=
Существует [[Отображения#Свойства отображений | биекция]] между строками и натуральными числами.
|proof=
Приведем пример такой биекции: занумеруем подряд все строки длины <tex>1</tex>, затем все строки длины <tex>2</tex> и так далее {{---}} нумерация названий столбцов в <tex>Excel</tex>, таким образом, каждому натуральному числу соответствует некоторая строка и наоборот. 
}}

Биекция между строками и натуральными числами нам нужна, чтобы передавать пары "текст программы, текст входных данных" в качестве аргументов функций. Передавать можно в следующем виде: 

<tex>2^{\mathtt{code}} \cdot 3^{\mathtt{input}}</tex>, где <tex>\mathtt{code}, \ \mathtt{input}</tex> {{---}} есть натуральные числа, соответствующие тексту программы и тексту входных данных соответственно.

Далее считаем, что входные данные программы и сама программа расположены над одним алфавитом <tex>\Sigma</tex>.

== Примеры разрешимых множеств ==
{{Утверждение
|id=st1
|statement=
Язык чётных чисел разрешим.
|proof=
Приведём программу, разрешающую язык чётных чисел:
 <tex>p(i) {:} </tex>
   '''if''' <tex>i \ \bmod \ 2 == 0 </tex>
     '''return''' 1
   '''else'''
     '''return''' 0

Заметим, что программа нигде не может зависнуть.
}}


{{Утверждение
|statement=
Множество всех рациональных чисел, меньших числа <tex>e</tex> (основания натуральных логарифмов) или <tex>\pi</tex>, разрешимо.
|proof=
 Для чисел <tex>e, \ \pi</tex> существуют различные техники нахождения их точного представления, одна их которых описана в статье<ref>[http://www.mathpropress.com/stan/bibliography/spigot.pdf «A Spigot Algorithm for the Digits of Pi»]</ref>, таким образом, возможно получить необходимый знак чисел <tex>e, \ \pi</tex> за конечное время. 

Десятичное представление рационального числа <tex>r</tex> может быть получено с любой точностью. 

Приведем программу, разрешающую данную проблему для числа <tex>e</tex>:
 
 <tex>p(r) {:} </tex>
   '''if''' (<tex>r</tex> < 2)
     '''return''' 1
   '''if''' (<tex>r</tex> > 3)
     '''return''' 0
   '''for''' (i = 1 .. <tex>\infty </tex>)  
     '''if''' (getDigit(<tex>e</tex>, i) > getDigit(<tex>r</tex>, i))  <font color="green">// getDigit {{---}} функция, которая получает i-ую цифру вещественной части переданного числа</font>
       '''return''' 1
     '''if''' (getDigit(<tex>e</tex>, i) < getDigit(<tex>r</tex>, i))
       '''return''' 0
Так как число <tex>e</tex> иррационально, то ответ будет найден за конечное время.
}}

{{Утверждение
|statement=
Множество тех <tex>n</tex>, для которых в числе <tex>\pi</tex> есть не менее <tex>n</tex> девяток подряд, разрешимо.
|proof=
Предположим, что в числе <tex>\pi</tex> встречается <tex>k</tex> девяток подряд, тогда, логично, что встречается и любое число девяток меньших <tex>k</tex>.
Рассмотрим все программы семейства:
 <tex>p_0(i) {:} </tex>
   '''return''' 1

 <tex>p_1(i) {:} </tex>
   '''if''' <tex>i < 1 </tex>
     '''return''' 1
   '''else'''
     '''return''' 0

 <tex>p_2(i) {:} </tex>  
   '''if''' <tex>i < 2 </tex>
     '''return''' 1
   '''else'''
     '''return''' 0

<tex>\dots</tex>     

 <tex>p_k(i) {:} </tex>  
   '''if''' <tex>i < k </tex>
     '''return''' 1
   '''else'''
     '''return''' 0

<tex>\dots</tex>
 
По доказанному выше, какая-то программа из этого семейства будет разрешителем для искомого множества. Значит, искомое множество разрешимо.
}}

== Примеры неразрешимых множеств ==

{{Утверждение
|id=st1
|statement=
Универсальный язык неразрешим.
}}
===Доказательство===
Приведём доказательство от противного.

Пусть язык <tex>U</tex> разрешим, тогда существует программа  

<tex>u(\langle p, x \rangle) = \begin{cases}
1, \ \langle p, x \rangle \in U \\
0, \ \langle p, x \rangle \notin U
\end{cases}
</tex>


Составим следующую программу:

 <tex>r(x) {:} </tex>
   '''if''' <tex>u(\langle x, x \rangle) == 1 </tex>
     '''while''' ''true''
   '''else'''
     '''return''' 1

Рассмотрим вызов <tex> r(r) </tex>:
* Eсли <tex> u(\langle r, r \rangle) = 1 </tex>, то условие <tex>\mathrm{if}</tex> выполнится и программа зависнет, но, так как программа <tex> u </tex> разрешает универсальный язык, <tex> u(\langle r, r \rangle) = 1 \Rightarrow r(r) = 1</tex>;
* Eсли <tex> u(\langle r, r \rangle) = 0 </tex>, то условие <tex>\mathrm{if}</tex> не выполнится и программа вернет <tex>1</tex>, но, так как программа <tex> u </tex> разрешает универсальный язык, <tex> u(\langle r, r \rangle) = 0 \Rightarrow r(r) \ne 1</tex>.

Из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию.

===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.
Допустим, что он разрешим. Тогда напишем такую программу:
<code>
  <tex>p(x):</tex>
    '''if''' <tex>u(\mathrm{getSrc()}, x)</tex>
      '''while''' ''true''
    '''else'''
      '''return''' 1
</code>

Если <tex> u(p, x) = 1 </tex>, тогда программа <tex> p </tex> на входе <tex> x </tex> должна вернуть <tex> 1 </tex>, но по условию <tex> if </tex> она зависает, а следовательно, не принадлежит универсальному языку.

Если же <tex> u(p, x) \neq 1 </tex>, то мы пойдём во вторую ветку условного оператора и вернём <tex> 1 </tex>, значит, пара <tex> 
\langle p, x \rangle </tex> принадлежит универсальному языку, но <tex> u(p, x) \neq 1 </tex>, значит, пара не принадлежит. Опять получили противоречие.

===Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве о неразрешимости языка===
Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p|p(\epsilon)=\perp\}</tex>.
{{Лемма
|id=st2
|statement= Язык <tex>L=\{p|p(\epsilon)=\perp\}</tex> неразрешим. 
|proof=
Предположим обратное, тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая <tex>L</tex>.
Рассмотрим следущую программу:
<code>
 <tex>p(x):</tex>
   '''if''' <tex>r(p)</tex>
      '''return''' 1
   '''while''' true
</code>
Пусть <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Противоречие.
}}

== Примечания == 

<references />

== Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursive_language Wikipedia — Recursive language]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Рекурсивный язык]


[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]