Регулярное представление группы

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Рассмотрим конечную группу [math]G[/math], [math]\vert G\vert=n[/math]. Занумеруем элементы: [math]g_1,g_2,...,g_n[/math]. Рассмотрим преобразование всех элементов группы под действием какого-то одного:

[math]\phi_i:G\rightarrow G,\,\phi_i(a)=g_i\cdot a[/math]

Это отображение, очевидно, сюръективно (прообразом элемента [math]x[/math] служит [math]g_i^{-1}\cdot x[/math]), инъективно([math]g_i\cdot a = g_i\cdot b\,\Leftrightarrow\, a=b[/math]), а значит, и биективно. Иными словами, оно является перестановкой.

Определим отображение [math]\psi:G\rightarrow S_n,\,\psi(g_i)=\phi_i[/math]. При этом [math]\phi_i[/math] рассматривается как перестановка. Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом: [math]\psi(a\cdot b)=\psi(a)\cdot\psi(b)[/math]. Раз образ гомоморфизма является подгруппой, то верно утверждение: любая конечная группа изоморфна(для этого надо еще упомянуть, что различным элементам группы сопоставляются различные перестановки - в группе не бывает "двойников", которые действуют одинаково на все элементы - по крайней мере, они отличаются действием на нейтральный элемент) некоторой подгруппе достаточно большой симметрической группы. Такое представление конечной группы подгруппой перестановок называется регулярным представлением.