Рефлексивное отношение

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

В математике бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении [math]R[/math] с самим собой.

Определение:
Отношение [math]R[/math] называется рефлексивным, если [math]\forall a \in X:\ (a R a)[/math].

Свойство рефлексивности при заданных отношениях графом состоит в том, что каждая вершина имеет петлю — дугу [math](X, X)[/math], а матрица смежности этого графа на главной диагонали имеет единицы.

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества [math]X[/math], то отношение [math]R[/math] называется антирефлексивным.


Определение:
Отношение [math]R[/math] называется антирефлексивным, если [math]\forall a \in X:\ \neg (a R a)[/math].


Если антирефлексивное отношение задано графом, то ни у одной вершины не будет петли - дуги [math](х, х)[/math], а в матрице смежности на главной диагонали будут нули.

Примеры рефлексивных отношений

  • Отношения эквивалентности:
    • отношение равенства [math]=\;[/math];
    • отношение сравнимости по модулю;
    • отношение параллельности прямых и плоскостей;
    • отношение подобия геометрических фигур.
  • Отношения частичного порядка:
    • отношение нестрогого неравенства [math]\leqslant[/math];
    • отношение нестрогого подмножества [math] \subseteq [/math];
    • отношение делимости [math]\,\vdots\,[/math].

Примеры антирефлексивных отношений

  • отношение строгого неравенства [math]\lt \;[/math];
  • отношение строгого подмножества [math]\subset[/math].