|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | ==Решение уравнений в регулярных выражениях== | | ==Решение уравнений в регулярных выражениях== |
| − | Пусть <tex>A</tex> — некий алфавит, <tex>\alpha X,\,\beta</tex> — некие формальные языки над этим алфавитом. | + | Пусть <tex>A</tex> — некий алфавит, <tex>\alpha,\,\beta</tex> — некие регулярные выражения над этим алфавитом. |
| | | | |
| | {{Утверждение | | {{Утверждение |
| | |statement= | | |statement= |
| − | Пусть уравнение имеет вид <tex>X = \alpha X + \beta</tex>, тогда: | + | Пусть уравнение имеет вид <tex>X = \alpha X + \beta \Rightarrow \, 1)</tex> |
| − | если <tex>\varepsilon \notin \alpha \Rightarrow \alpha^{*} \beta</tex> — единственное решение. если <tex>\varepsilon \in \alpha \Rightarrow \alpha^{*}( \beta + L)</tex> — решение для <tex>\forall L</tex> | + | если <tex>\varepsilon \notin \alpha </tex>, тогда <tex> \alpha^{*} \beta</tex> — единственное решение. <tex>2)</tex> если <tex>\varepsilon \in \alpha </tex>, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + L)</tex> — решение для <tex>\forall L</tex> |
| | |proof= | | |proof= |
| − | <tex> 1) \varepsilon \notin \alpha </tex>. тогда <tex>\forall i: \alpha^{i} \beta \subset X </tex> для <tex>\forall L \Rightarrow \alpha^{*} \beta \subset X </tex>. Пусть <tex>\exists z \in X, z\notin \alpha^{*} \beta: z</tex> — самое короткое. <tex>z=z_\alpha z', </tex> где <tex>z_\alpha \in \alpha \Rightarrow z_\alpha \notin \varepsilon \Rightarrow z'</tex> — короче <tex>z \Rightarrow z' \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow X = \alpha^{*} \beta </tex> | + | <tex> 1) </tex> Пусть <tex>\varepsilon \notin \alpha </tex>. тогда <tex>\forall i: </tex> выражение <tex>\alpha^{i} \beta \subset X </tex> для <tex>\forall L \Rightarrow \alpha^{*} \beta \subset X </tex>. Пусть <tex>\exists z \in X, z\notin \alpha^{*} \beta: z</tex> — самое короткое. <tex>z=z_\alpha z', </tex> где <tex>z_\alpha \in \alpha \Rightarrow z_\alpha \notin \varepsilon \Rightarrow z'</tex> — короче <tex>z \Rightarrow z' \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow X = \alpha^{*} \beta </tex> |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| − | <tex> 2) \varepsilon \in \alpha</tex>. предположим, что <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> — решение, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> подходит в <tex>X = \alpha X + \beta</tex>. Выберем в качестве <tex>L</tex> любой язык. | + | <tex> 2)</tex> Пусть <tex> \varepsilon \in \alpha</tex>. предположим, что <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> — решение, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> подходит в <tex>X = \alpha X + \beta</tex>. Выберем в качестве <tex>L</tex> любой язык. |
| | | | |
| | | | |
Версия 13:02, 14 октября 2010
Решение уравнений в регулярных выражениях
Пусть [math]A[/math] — некий алфавит, [math]\alpha,\,\beta[/math] — некие регулярные выражения над этим алфавитом.
| Утверждение: |
Пусть уравнение имеет вид [math]X = \alpha X + \beta \Rightarrow \, 1)[/math]
если [math]\varepsilon \notin \alpha [/math], тогда [math] \alpha^{*} \beta[/math] — единственное решение. [math]2)[/math] если [math]\varepsilon \in \alpha [/math], тогда [math] \alpha^{*}( \beta + L)[/math] — решение для [math]\forall L[/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math] 1) [/math] Пусть [math]\varepsilon \notin \alpha [/math]. тогда [math]\forall i: [/math] выражение [math]\alpha^{i} \beta \subset X [/math] для [math]\forall L \Rightarrow \alpha^{*} \beta \subset X [/math]. Пусть [math]\exists z \in X, z\notin \alpha^{*} \beta: z[/math] — самое короткое. [math]z=z_\alpha z', [/math] где [math]z_\alpha \in \alpha \Rightarrow z_\alpha \notin \varepsilon \Rightarrow z'[/math] — короче [math]z \Rightarrow z' \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow X = \alpha^{*} \beta [/math]
[math] 2)[/math] Пусть [math] \varepsilon \in \alpha[/math]. предположим, что [math] \alpha^{*}( \beta + \alpha) [/math] — решение, тогда [math] \alpha^{*}( \beta + \alpha) [/math] подходит в [math]X = \alpha X + \beta[/math]. Выберем в качестве [math]L[/math] любой язык.
[math]\Rightarrow \alpha^{*} ( \beta + L ) = \alpha \alpha^{*} ( \beta + L ) + \beta \alpha^{*} \beta + \alpha^{*} \alpha = \alpha^{+} \beta + \alpha^{*} L + \beta = \alpha^{*} \beta + \alpha^{*} L = \alpha^{*}( \beta + \alpha) [/math]. что и требовалось доказать |
| [math]\triangleleft[/math] |
Решение системы уравнений в регулярных выражениях
Пусть система уравнений имеет вид
[math]
\begin{cases}
\alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \dots + \alpha_{1n} X_n + \beta_1 = X_1 \\
\alpha_{21} X_1 + \alpha_{22} X_2 + \dots + \alpha_{2n} X_n + \beta_2 = X_2\\
\dots\\
\alpha_{n1} X_1 + \alpha_{n2} X_2 + \dots + \alpha_{nn} X_n + \beta_n = X_n \\
\end{cases}
[/math]
метод решения
выразим [math]x_1[/math] из первого уравнения и подставим во второе уравнение: [math] x_2 = ( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) x_2 + \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} x_3 + \dots + \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} x_n + \beta_2[/math]. Пусть [math] a =( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) [/math], [math] b =\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} x_3 + \dots + \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} x_n + \beta_2 [/math], тогда уравнение примет вид [math]x_2=a x_2 + b[/math]. его решением будет [math]a^{*} b[/math]. подставим в следующее уравнение выраженный [math]x_2[/math], далее выполняя схожие итерации получим уравнение [math]x_n = a' x_n + b'[/math], где [math] a'=f( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ),\, b'=g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )[/math] [math] \Rightarrow x_n= f^{*}( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )[/math]. далее подставляя в полученные в ходе итераций уравнения найденный [math] x_i [/math], обратной прогонкой найдем [math]x_1 \dots x_{n-1} [/math].
