СНМ (наивные реализации) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Определение)
(С помощью массива)
Строка 15: Строка 15:
 
== Реализации ==
 
== Реализации ==
 
=== С помощью массива ===
 
=== С помощью массива ===
 +
 +
<!--
 
'''Оценка работы:'''
 
'''Оценка работы:'''
 
{| class="wikitable" border="1"
 
{| class="wikitable" border="1"
Строка 25: Строка 27:
 
  |<tex>O(n)</tex>
 
  |<tex>O(n)</tex>
 
  |}
 
  |}
<!-- Введем массив s, в s[i] будет храниться номер множества, к которому принадлежит i. Этот номер является идентификатором множества. Тогда find, очевидно, будет работать за <tex>O(1)</tex>.
 
 
-->
 
-->
  
Строка 32: Строка 33:
 
Чтобы объединить множества x и y, надо изменить все s[i], равные номеру множества x, на номер y. Тогда union работает за <tex>O(n)</tex>.
 
Чтобы объединить множества x и y, надо изменить все s[i], равные номеру множества x, на номер y. Тогда union работает за <tex>O(n)</tex>.
  
'''Псевдокод:'''
 
 
  int s[n]
 
  int s[n]
 
  init():
 
  init():

Версия 01:10, 12 июня 2012

Определение

Система непересекающихся множеств (disjoint set union, DSU)

Структура хранит набор объектов (например, чисел от 0 до n - 1) в виде непересекающихся множеств. У каждого множества есть конкретный представитель.

Определены две операции:

  • union(x, y) — объединяет множества, содержащие x и y
  • find(x) — возвращает представителя множества, в котором находится x

Для любого элемента множества представитель всегда одинаковый. Поэтому чтобы проверить принадлежность элементов x и y одному множеству достаточно сравнить find(x) и find(y).

Пример работы СНМ


Реализации

С помощью массива

Пусть в массиве s хранятся номера множеств, в s[i] будет храниться номер множества, к которому принадлежит i. Этот номер отождествляет множество, find возвращает именно его. Тогда find, очевидно, будет работать за [math]O(1)[/math].

Чтобы объединить множества x и y, надо изменить все s[i], равные номеру множества x, на номер y. Тогда union работает за [math]O(n)[/math].

int s[n]
init():
    for i = 0 to n - 1:
        s[i] = i // сначала каждый элемент лежит в своем множестве

find(k):
    return s[k]

union(x, y):
    if s[x] == s[y]:
        return
    else:
        t = s[y]
        for i = 0 to n - 1:
            if s[i] == t:
                s[i] = s[x]

С помощью списка

Оценка работы:

init find union
[math]O(n)[/math] [math]O(n)[/math] [math]O(1)[/math]

Будем хранить множество в виде списка. Вначале создается n списков, в которых каждый элемент является представителем своего множества. Для каждого элемента списка будем хранить ссылку на следующий элемент (next) и ссылку на голову (head). Тогда для объединения множеств надо будет перекинуть ссылку next у представителя на начало другого множества. Таким образом, union работает за [math] O(1) [/math].

Для того, чтобы найти элемент в одном из множеств, надо идти по ссылкам next, пока он не указывает на null — тогда мы нашли элемент-представитель. Таким образом, find работает за [math]O(n)[/math].

Псевдокод:

s[n]
init():
    for i = 0 to n - 1:
        s[i].set = i
        s[i].next = null
        s[i].head = s[i]

find(x): // подразумевается, что x — ссылка на один из элементов
    while x.next != null:
        x = x.next
    return x.set

union(x, y): // здесь важно, что x и y — представители множеств
    if x == y:
        return
    else:
        x.next = y.head // соединили списки
        y.head = x.head // сделали корректную ссылку на голову для представителя нового списка

Пример работы:

Два списка до операции union:

DSU 1 X.png

DSU 1 Y.png

Два списка после операции union:

DSU 1 XY.png

Другие реализации

Источники

  • Т. Кормен - Алгоритмы, построение и анализ. Второе издание. Часть V. Глава 21.

Ссылки