Редактирование: Сведение задачи LCA к задаче RMQ

{{Шаблон:Задача
|definition = 
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.
}}
{{Определение 
|id=lca_suf_tree
|definition = '''Наименьшим общим предком''' (англ. ''least common ancestor'') двух узлов <tex>u</tex> и  <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
}}

== Алгоритм ==
=== Идея ===
Будем решать задачу <tex>LCA</tex>, уже умея решать задачу <tex>RMQ</tex>. Тогда поиск наименьшего общего предка <tex>i</tex>-того и <tex>j</tex>-того элементов сводится к запросу минимума на отрезке массива, который будет введен позднее.

=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>\mathrm{depth}(u) = \begin{cases}
0 & u = \mathrm{root}(T),\\
\mathrm{depth}(v) + 1 & u = \mathrm{son}(v).
\end{cases}</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин: 
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>\mathtt{vtx}</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>\mathtt{I}[u]</tex>, возвращающей индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например на момент входа в вершину).

Вот таким образом будет выглядеть массив <tex>\mathtt{vtx}</tex> после обхода в глубину:

[[Файл:Полная персистентность.png‎ | мини | left | 500x300px| Пример массива <tex>\mathtt{vtx}</tex>]]
<br clear="all">

=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>\mathrm{rmq}(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>\mathrm{lca}(u, v)</tex>, где <tex>\mathtt{I}[u] \leqslant \mathtt{I}[v]</tex>, будет <tex>\mathtt{vtx}[\mathrm{rmq}(d,\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v])]</tex>.
=== Доказательство корректности алгоритма ===
{{Теорема
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v]]</tex>.
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[\mathtt{I}[u]..\mathtt{I}[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>\mathtt{I}[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>\mathtt{I}[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>\mathtt{I}[u]</tex> и <tex>\mathtt{I}[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
}}.

== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину {{---}} <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png(2).png|thumb|center|400x200px|Рисунок к примеру]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]]. Длина массива глубин будет равна <tex>(2n - 1)</tex>, т. е. дерево отрезков можно построить за <tex>O(n).</tex> Таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. <tex>O(\log n).</tex>

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Источники информации ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]