Сведение задачи LCA к задаче RMQ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 13: Строка 13:
 
\end{cases}</tex>
 
\end{cases}</tex>
  
2) Запустим обход в глубину из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
+
2) Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
  
 
=== Запрос ===
 
=== Запрос ===
Обозначим <tex>I[u]</tex> {{---}} функция, возвращающая все индексы ячеек в списке глубин, в которых хранится глубина узла <tex>u.</tex>
+
Обозначим <tex>I[u]</tex> {{---}} функция, возвращающая все индексы ячеек в списке глубин <tex>depth[start..end]</tex>, в которых хранится глубина узла <tex>u.</tex>
Пусть имеется запрос пара узлов <tex>u, v.</tex> В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>[I[u], I[v]].</tex> Можно брать любое значение <tex>I[u].</tex> Для определённости <tex>I[u] \le I[v].</tex>
+
Пусть имеется запрос пара узлов <tex>u, v.</tex> В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>depth[I[u], I[v]].</tex> Можно брать любое значение <tex>I[u].</tex> Для определённости <tex>I[u] \le I[v].</tex>
  
 
== Доказательство корректности алгоритма ==
 
== Доказательство корректности алгоритма ==
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Пусть узел <tex>w</tex> {{---}} наименьший общий предок узлов <tex>u, v.</tex> Очевидно, что в поддереве с корнем <tex>w</tex> узел <tex>w</tex> будет иметь наименьшую глубину.
+
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Для определенности считаем, что <tex>u</tex> является первой при поиске в глубину. Обозначим <tex>a</tex> {{---}} любой индекс из <tex>I[u]</tex>, <tex>b</tex> {{---}} из <tex>I[v]</tex>. На отрезке <tex>depth[a..end]</tex> хранятся узлы посещенные после <tex>u</tex> и, быть может, некоторые вершины из поддерева с корнем <tex>u</tex>(которые имеют глубину больше глубины <tex>u</tex>). Аналогично на <tex>depth[start..b]</tex> {{---}} вершины, посещенные до <tex>v</tex> и некоторые вершины из поддерева <tex>v</tex>. Рассмотрим теперь отрезок <tex>depth[a..b]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex>(в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке <tex>depth[a..b]</tex>. Допустим обратное. Все потомки <tex>w</tex> имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины <tex>w</tex> раньше, чем посетил вершину <tex>v</tex>.
Осталось доказать, что для любых значений <tex>I[u],\; I[v]\; \exists</tex> значение <tex>I[w]</tex>, что выполняется неравенство <tex>I[u] \le I[w] \le I[v]\;(*).</tex>
 
Пусть вершина <tex>u</tex> посещается раньше, чем вершина <tex>v.</tex> Тогда, если вершина <tex>v</tex> не явлется потомком вершины <tex>u,</tex> будет выполняться неравенство <tex>\;(*)</tex> (так как после посещения поддерева, содержащего вершину <tex>u</tex>, в список будет добавлена вершина <tex>w</tex>, а после {{---}} вершина <tex>v</tex>). А если вершина <tex>u</tex> является предком вершины <tex>v,</tex> то вершина <tex>u</tex> будет наименьшим общим предком вершин <tex>u, v</tex>. Очевидно, что неравенство выполняется.
 
 
 
 
== Пример ==
 
== Пример ==
 
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
 
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Строка 32: Строка 29:
  
 
== Сложность ==
 
== Сложность ==
Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать дерево отрезков. Длина массива глубин будет равна <tex>(2n - 1),</tex> т.е. дерево отрезков будет построено за <tex>O(n).</tex> Таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. <tex>O(\log n).</tex>
+
 
 +
Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]]. Длина массива глубин будет равна <tex>(2n - 1),</tex> т.е. дерево отрезков будет построено за <tex>O(n).</tex> Таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. <tex>O(\log n).</tex>
  
 
== См.также ==
 
== См.также ==

Версия 14:23, 8 апреля 2012

Постановка задачи LCA

Определение:
Наименьшим общим предком (least common ancestor) двух узлов [math]u, v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w,[/math] который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u,[/math] так и [math]v,[/math] имеет наибольшую глубину.

Пусть дано корневое дерево [math]T.[/math] На вход подаются запросы вида [math](u,\;v),[/math] для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Алгоритм

Препроцессинг

1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве [math]T.[/math]

[math]depth(u)= \begin{cases} 0 & u = root(T),\\ depth(v) + 1 & u = son(v). \end{cases}[/math]

2) Запустим обход в глубину из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.

Запрос

Обозначим [math]I[u][/math] — функция, возвращающая все индексы ячеек в списке глубин [math]depth[start..end][/math], в которых хранится глубина узла [math]u.[/math] Пусть имеется запрос пара узлов [math]u, v.[/math] В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]depth[I[u], I[v]].[/math] Можно брать любое значение [math]I[u].[/math] Для определённости [math]I[u] \le I[v].[/math]

Доказательство корректности алгоритма

Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Для определенности считаем, что [math]u[/math] является первой при поиске в глубину. Обозначим [math]a[/math] — любой индекс из [math]I[u][/math], [math]b[/math] — из [math]I[v][/math]. На отрезке [math]depth[a..end][/math] хранятся узлы посещенные после [math]u[/math] и, быть может, некоторые вершины из поддерева с корнем [math]u[/math](которые имеют глубину больше глубины [math]u[/math]). Аналогично на [math]depth[start..b][/math] — вершины, посещенные до [math]v[/math] и некоторые вершины из поддерева [math]v[/math]. Рассмотрим теперь отрезок [math]depth[a..b][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math](в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке [math]depth[a..b][/math]. Допустим обратное. Все потомки [math]w[/math] имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины [math]w[/math] раньше, чем посетил вершину [math]v[/math].

Пример

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

рис. 1

Сложность

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать дерево отрезков. Длина массива глубин будет равна [math](2n - 1),[/math] т.е. дерево отрезков будет построено за [math]O(n).[/math] Таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n).[/math] Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. [math]O(\log n).[/math]

См.также

Ссылки