Сведение задачи LCA к задаче RMQ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 22: Строка 22:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>depth[I[u], I[v]].
+
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>depth[I[u], I[v]]</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Для определенности считаем, что <tex>u</tex> является первой при поиске в глубину. Рассмотрим отрезок <tex>depth[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex>(в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке <tex>depth[I[u]..I[v]]</tex>. Допустим обратное. Все потомки <tex>w</tex> имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины <tex>w</tex> раньше, чем посетил вершину <tex>v</tex>.
 
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Для определенности считаем, что <tex>u</tex> является первой при поиске в глубину. Рассмотрим отрезок <tex>depth[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex>(в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке <tex>depth[I[u]..I[v]]</tex>. Допустим обратное. Все потомки <tex>w</tex> имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины <tex>w</tex> раньше, чем посетил вершину <tex>v</tex>.

Версия 00:18, 31 мая 2012

Постановка задачи LCA

Определение:
Наименьшим общим предком (least common ancestor) двух узлов [math]u, v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w,[/math] который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u,[/math] так и [math]v,[/math] имеет наибольшую глубину.

Пусть дано корневое дерево [math]T.[/math] На вход подаются запросы вида [math](u,\;v),[/math] для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Алгоритм

Препроцессинг

1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве [math]T.[/math]

[math]depth(u)= \begin{cases} 0 & u = root(T),\\ depth(v) + 1 & u = son(v). \end{cases}[/math]

2) Запустим обход в глубину из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.

Запрос

Обозначим [math]I[u][/math] — функция, возвращающая любой индекс ячейки в списке глубин [math]depth[/math], в котором хранится глубина узла [math]u[/math]. Ее можно строить во время обхода в глубину. Пусть имеется запрос пара узлов [math]u, v.[/math] В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]depth[I[u], I[v]]. [/math] Для определённости [math]I[u] \le I[v].[/math]

Доказательство корректности алгоритма

Теорема:
Наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]depth[I[u], I[v]][/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Для определенности считаем, что [math]u[/math] является первой при поиске в глубину. Рассмотрим отрезок [math]depth[I[u]..I[v]][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math](в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке [math]depth[I[u]..I[v]][/math]. Допустим обратное. Все потомки [math]w[/math] имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины [math]w[/math] раньше, чем посетил вершину [math]v[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

рис. 1

Сложность

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать дерево отрезков. Длина массива глубин будет равна [math](2n - 1),[/math] т.е. дерево отрезков будет построено за [math]O(n).[/math] Таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n).[/math] Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. [math]O(\log n).[/math]

См.также

Ссылки