Сведение задачи LCA к задаче RMQ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Сложность: fixup)
(Препроцессинг: naming and formatting)
Строка 7: Строка 7:
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
 
=== Препроцессинг ===
 
=== Препроцессинг ===
1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве <tex>T.</tex>
+
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
 
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
 
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
 
0 & u = root(T),\\
 
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v).
+
depth(v) + 1 & u = son(v)
\end{cases}</tex>
+
\end{cases}.</tex>
 +
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.
  
2) Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
+
Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет строить список посещений узлов <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
  
 
=== Запрос ===
 
=== Запрос ===

Версия 19:33, 12 июня 2012

Постановка задачи LCA

Определение:
Наименьшим общим предком (least common ancestor) двух узлов [math]u[/math] и [math]v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w[/math], который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u[/math], так и [math]v[/math], имеет наибольшую глубину.

Пусть дано корневое дерево [math]T[/math]. На вход подаются запросы вида [math](u,\;v)[/math], для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Алгоритм

Препроцессинг

Для каждой вершины [math]T[/math] определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:

[math]depth(u)= \begin{cases} 0 & u = root(T),\\ depth(v) + 1 & u = son(v) \end{cases}.[/math]

Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим обход в глубину из корня, который будет строить список посещений узлов [math]d[/math]. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.

Запрос

Обозначим [math]I[u][/math] — функция, возвращающая любой индекс ячейки в списке глубин [math]depth[/math], в котором хранится глубина узла [math]u[/math]. Ее можно строить во время обхода в глубину. Пусть имеется запрос — пара узлов [math]u, v.[/math] В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]depth[I[u], I[v]][/math].

Доказательство корректности алгоритма

Теорема:
Наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]depth[I[u], I[v]][/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Рассмотрим отрезок [math]depth[I[u]..I[v]][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math](в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке [math]depth[I[u]..I[v]][/math]. Допустим обратное. Все потомки [math]w[/math] имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины [math]w[/math] раньше, чем посетил вершину [math]v[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

рис. 1

Сложность

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать дерево отрезков. Длина массива глубин будет равна [math](2n - 1)[/math], т. е. дерево отрезков можно построить за [math]O(n).[/math] Таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n).[/math] Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. [math]O(\log n).[/math]

См.также

Ссылки