Сведение задачи LCA к задаче RMQ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство корректности алгоритма: changes of contradiction condition)
(Запрос: order fixup)
Строка 20: Строка 20:
  
 
=== Запрос ===
 
=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex> будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.
+
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex>, где <tex>I[u] \le I[v]</tex>, будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.
  
 
=== Доказательство корректности алгоритма ===
 
=== Доказательство корректности алгоритма ===

Версия 11:05, 13 июня 2012

Постановка задачи LCA

Определение:
Наименьшим общим предком (least common ancestor) двух узлов [math]u[/math] и [math]v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w[/math], который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u[/math], так и [math]v[/math], имеет наибольшую глубину.

Пусть дано корневое дерево [math]T[/math]. На вход подаются запросы вида [math](u,\;v)[/math], для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Алгоритм

Препроцессинг

Для каждой вершины [math]T[/math] определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:

[math]depth(u)= \begin{cases} 0 & u = root(T),\\ depth(v) + 1 & u = son(v) \end{cases}.[/math]

Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим обход в глубину из корня, который будет вычислять значения следующих величин:

  1. Cписок глубин посещенных вершин [math]d[/math]. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
  2. Список посещений узлов [math]vtx[/math], строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
  3. Значение функции [math]I[u][/math], возвращающей любой индекс в списке глубин [math]d[/math], по которому была записана глубина вершины [math]u[/math] (например при входе в вершину).

Запрос

Будем считать, что [math]rmq(d,l,r)[/math] возвращает индекс минимального элемента в [math]d[/math] на отрезке [math][l..r][/math]. Тогда ответом на запрос [math]lca(u, v)[/math], где [math]I[u] \le I[v][/math], будет [math]vtx[rmq(d,I[u], I[v])][/math].

Доказательство корректности алгоритма

Теорема:
Наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]d[I[u], I[v]][/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Рассмотрим отрезок [math]d[I[u]..I[v]][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math] (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины [math]w[/math]. Заметим, что в момент добавления [math]I[u][/math] обход посещал поддерево с корнем [math]w[/math]. В момент добавления [math]I[v][/math] мы все еще в поддереве с корнем [math]w[/math]. Значит, и на отрезке между [math]I[u][/math] и [math]I[v][/math] мы находились внутри поддерева с корнем [math]w[/math]. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от [math]w[/math], с глубиной меньшей либо равной глубины [math]w[/math], т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем [math]w[/math].
[math]\triangleleft[/math]
.

Пример

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

рис. 1

Сложность

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать дерево отрезков. Длина массива глубин будет равна [math](2n - 1)[/math], т. е. дерево отрезков можно построить за [math]O(n).[/math] Таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n).[/math] Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. [math]O(\log n).[/math]

См.также

Ссылки