Сведение задачи LCA к задаче RMQ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример)
(Препроцессинг)
 
(не показаны 23 промежуточные версии 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Постановка задачи LCA ==
+
{{Шаблон:Задача
 +
|definition =  
 +
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.
 +
}}
 
{{Определение  
 
{{Определение  
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u</tex> и  <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
+
|id=lca_suf_tree
 +
|definition = '''Наименьшим общим предком''' (англ. ''least common ancestor'') двух узлов <tex>u</tex> и  <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
 
}}
 
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.
 
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
 +
=== Идея ===
 +
Будем решать задачу <tex>LCA</tex>, уже умея решать задачу <tex>RMQ</tex>. Тогда поиск наименьшего общего предка <tex>i</tex>-того и <tex>j</tex>-того элементов сводится к запросу минимума на отрезке массива, который будет введен позднее.
 +
 
=== Препроцессинг ===
 
=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
+
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
+
:<tex>\mathrm{depth}(u) = \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
+
0 & u = \mathrm{root}(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v)
+
\mathrm{depth}(v) + 1 & u = \mathrm{son}(v).
\end{cases}.</tex>
+
\end{cases}</tex>
 
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.
 
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.
  
 
Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:  
 
Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:  
 
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
 
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>vtx</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
+
#Список посещений узлов <tex>\mathtt{vtx}</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>I[u]</tex>, возвращающей любой индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например при входе в вершину).
+
#Значение функции <tex>\mathtt{I}[u]</tex>, возвращающей индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например на момент входа в вершину).
 +
 
 +
Вот таким образом будет выглядеть массив <tex>\mathtt{vtx}</tex> после обхода в глубину:
 +
 
 +
[[Файл:Полная персистентность.png‎ | мини | left | 500x300px| Пример массива <tex>\mathtt{vtx}</tex>]]
 +
<br clear="all">
  
 
=== Запрос ===
 
=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex>, где <tex>I[u] \le I[v]</tex>, будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.
+
Будем считать, что <tex>\mathrm{rmq}(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>\mathrm{lca}(u, v)</tex>, где <tex>\mathtt{I}[u] \leqslant \mathtt{I}[v]</tex>, будет <tex>\mathtt{vtx}[\mathrm{rmq}(d,\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v])]</tex>.
 
 
 
=== Доказательство корректности алгоритма ===
 
=== Доказательство корректности алгоритма ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[I[u], I[v]]</tex>.
+
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v]]</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>I[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>I[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>I[u]</tex> и <tex>I[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
+
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[\mathtt{I}[u]..\mathtt{I}[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>\mathtt{I}[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>\mathtt{I}[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>\mathtt{I}[u]</tex> и <tex>\mathtt{I}[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
 
}}.
 
}}.
  
Строка 34: Строка 44:
 
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину {{---}} <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
 
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину {{---}} <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
 
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
 
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
+
[[Файл:Lca to rmq.png(2).png|thumb|center|400x200px|Рисунок к примеру]]
 
<div style='clear:left;'></div>
 
<div style='clear:left;'></div>
  
Строка 46: Строка 56:
 
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
 
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
 
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
 
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
+
== Источники информации ==
 
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]
 
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]
 
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]

Текущая версия на 13:02, 9 июня 2015

Задача:
Пусть дано корневое дерево [math]T[/math]. На вход подаются запросы вида [math](u,\;v)[/math], для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.


Определение:
Наименьшим общим предком (англ. least common ancestor) двух узлов [math]u[/math] и [math]v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w[/math], который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u[/math], так и [math]v[/math], имеет наибольшую глубину.


Алгоритм[править]

Идея[править]

Будем решать задачу [math]LCA[/math], уже умея решать задачу [math]RMQ[/math]. Тогда поиск наименьшего общего предка [math]i[/math]-того и [math]j[/math]-того элементов сводится к запросу минимума на отрезке массива, который будет введен позднее.

Препроцессинг[править]

Для каждой вершины [math]T[/math] определим глубину с помощью следующей рекурсивной формулы:

[math]\mathrm{depth}(u) = \begin{cases} 0 & u = \mathrm{root}(T),\\ \mathrm{depth}(v) + 1 & u = \mathrm{son}(v). \end{cases}[/math]

Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим обход в глубину из корня, который будет вычислять значения следующих величин:

  1. Cписок глубин посещенных вершин [math]d[/math]. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
  2. Список посещений узлов [math]\mathtt{vtx}[/math], строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
  3. Значение функции [math]\mathtt{I}[u][/math], возвращающей индекс в списке глубин [math]d[/math], по которому была записана глубина вершины [math]u[/math] (например на момент входа в вершину).

Вот таким образом будет выглядеть массив [math]\mathtt{vtx}[/math] после обхода в глубину:

Пример массива [math]\mathtt{vtx}[/math]


Запрос[править]

Будем считать, что [math]\mathrm{rmq}(d,l,r)[/math] возвращает индекс минимального элемента в [math]d[/math] на отрезке [math][l..r][/math]. Тогда ответом на запрос [math]\mathrm{lca}(u, v)[/math], где [math]\mathtt{I}[u] \leqslant \mathtt{I}[v][/math], будет [math]\mathtt{vtx}[\mathrm{rmq}(d,\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v])][/math].

Доказательство корректности алгоритма[править]

Теорема:
Наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]d[\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v]][/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Рассмотрим отрезок [math]d[\mathtt{I}[u]..\mathtt{I}[v]][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math] (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины [math]w[/math]. Заметим, что в момент добавления [math]\mathtt{I}[u][/math] обход посещал поддерево с корнем [math]w[/math]. В момент добавления [math]\mathtt{I}[v][/math] мы все еще в поддереве с корнем [math]w[/math]. Значит, и на отрезке между [math]\mathtt{I}[u][/math] и [math]\mathtt{I}[v][/math] мы находились внутри поддерева с корнем [math]w[/math]. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от [math]w[/math], с глубиной меньшей либо равной глубины [math]w[/math], т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем [math]w[/math].
[math]\triangleleft[/math]
.

Пример[править]

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину — [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

Рисунок к примеру

Сложность[править]

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать алгоритм Фарака-Колтона и Бендера для [math]\pm 1RMQ[/math], т. к. соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. Длина списка глубин составляет [math](2n - 1)[/math], таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n)[/math]. Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке — [math]O(1)[/math].

См.также[править]

Источники информации[править]