Сведение задачи LCA к задаче RMQ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Постановка задачи LCA)
Строка 1: Строка 1:
 
== Постановка задачи LCA ==
 
== Постановка задачи LCA ==
 
{{Определение  
 
{{Определение  
|definition = '''Наименьший общий предок (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u, v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> - это такой узел <tex>w,</tex> который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u,</tex> так и <tex>v,</tex> имеет наибольшую глубину.
+
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u, v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w,</tex> который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u,</tex> так и <tex>v,</tex> имеет наибольшую глубину.
 
}}
 
}}
 
Пусть дано корневое дерево <tex>T.</tex> На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v),</tex> для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.
 
Пусть дано корневое дерево <tex>T.</tex> На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v),</tex> для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Версия 19:34, 25 марта 2011

Постановка задачи LCA

Определение:
Наименьшим общим предком (least common ancestor) двух узлов [math]u, v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w,[/math] который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u,[/math] так и [math]v,[/math] имеет наибольшую глубину.

Пусть дано корневое дерево [math]T.[/math] На вход подаются запросы вида [math](u,\;v),[/math] для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Алгоритм

Препроцессинг

1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве [math]T.[/math]

[math]depth(u)= \begin{cases} 0 & u = root(T),\\ depth(v) + 1 & u = son(v). \end{cases}[/math]

2) Ориентируем каждое ребро в дереве [math]T[/math] и добавим обратное к этому ребру. Получим эйлеров граф [math]E.[/math]. Найдем в графе [math]E[/math] эйлеров цикл, записывая в массив глубину посещенных узлов.

3) Построим дерево отрезков по полученному массиву.

Запрос

Сложность

Препроцессинг

Длина массива глубин будет равна [math](2 * n - 1),[/math] т.е. дерево отрезков будет построено за [math]O(n).[/math] Таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n).[/math]

Запрос

Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. [math]O(log n).[/math]

См.также

Ссылки