Сведение задачи RMQ к задаче LCA — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 3: Строка 3:
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
 
[[Файл:Wiki.PNG|thumb|right|300x160px|Пример построенного дерева для массива А]]
 
[[Файл:Wiki.PNG|thumb|right|300x160px|Пример построенного дерева для массива А]]
Декартово дерево (Сartesian tree) на массиве <tex>A[1..N]</tex> - это бинарное дерево, рекурсивно определенное следующим образом:
+
Декартово дерево (англ. ''сartesian tree'') на массиве <tex>A[1..N]</tex> {{---}} это бинарное дерево, рекурсивно определенное следующим образом:
 
* Корнем дерева является минимальное значение в массиве <tex>A</tex>, скажем <tex>A[i]</tex>.  
 
* Корнем дерева является минимальное значение в массиве <tex>A</tex>, скажем <tex>A[i]</tex>.  
 
* Левым поддеревом является декартово дерево на массиве <tex>A[1..i-1]</tex>.
 
* Левым поддеревом является декартово дерево на массиве <tex>A[1..i-1]</tex>.
Строка 10: Строка 10:
 
== Доказательство ==
 
== Доказательство ==
 
Мы знаем что:
 
Мы знаем что:
* 1. Любая вершина дерева всегда имеет меньшее значение, чем её дети. Тогда любой предок <tex>A[i]</tex> или <tex>A[j]</tex> меньше их самих.
+
* Любая вершина дерева всегда имеет меньшее значение, чем её дети. Тогда любой предок <tex>A[i]</tex> или <tex>A[j]</tex> меньше их самих.
* 2. <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> ближайший к корню и по п.1 имеет наименьшее значение в своем поддереве. По построению, это поддерево содержит в частности подмассив <tex>A[i..j], </tex> и <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> находится между <tex>A[i]</tex> и  <tex>A[j]</tex>. То есть <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> является <tex>RMQ(i, j).</tex>
+
* <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> ближайший к корню и по п.1 имеет наименьшее значение в своем поддереве. По построению, это поддерево содержит в частности подмассив <tex>A[i..j], </tex> и <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> находится между <tex>A[i]</tex> и  <tex>A[j]</tex>. То есть <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> является <tex>RMQ(i, j).</tex>
 
== Сложность ==
 
== Сложность ==
 
Построение дерева наивным алгоритмом <tex>O(n^2)</tex>. Существует алгоритм построения за <tex>O(n)</tex>.
 
Построение дерева наивным алгоритмом <tex>O(n^2)</tex>. Существует алгоритм построения за <tex>O(n)</tex>.
  
Препроцессинг для <tex>LCA</tex> - <tex>O(n)</tex> и ответ на запрос <tex>O(1)</tex>.  
+
Препроцессинг для <tex>LCA</tex> {{---}} <tex>O(n)</tex> и ответ на запрос <tex>O(1)</tex>.  
 
В итоге получили <tex>RMQ</tex> {построение <tex>O(n)</tex>, запрос <tex>O(1)</tex>}.
 
В итоге получили <tex>RMQ</tex> {построение <tex>O(n)</tex>, запрос <tex>O(1)</tex>}.
 
== См.также ==
 
== См.также ==
 
*[[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]
 
*[[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]

Версия 18:13, 28 июня 2011

Постановка задачи RMQ

Дан массив [math]A[1..N][/math]. Поступают запросы вида [math](i, j)[/math], на каждый запрос требуется найти минимум в массиве [math]A[/math], начиная с позиции [math]i[/math] и заканчивая позицией [math]j[/math].

Алгоритм

Пример построенного дерева для массива А

Декартово дерево (англ. сartesian tree) на массиве [math]A[1..N][/math] — это бинарное дерево, рекурсивно определенное следующим образом:

  • Корнем дерева является минимальное значение в массиве [math]A[/math], скажем [math]A[i][/math].
  • Левым поддеревом является декартово дерево на массиве [math]A[1..i-1][/math].
  • Правым поддеревом является декартово дерево на массиве [math]A[i+1..N][/math].

Построим декартово дерево на массиве [math]A[/math]. Тогда [math]RMQ(i, j)[/math] = [math]LCA(A[i], A[j])[/math].

Доказательство

Мы знаем что:

  • Любая вершина дерева всегда имеет меньшее значение, чем её дети. Тогда любой предок [math]A[i][/math] или [math]A[j][/math] меньше их самих.
  • [math]LCA(A[i], A[j])[/math] ближайший к корню и по п.1 имеет наименьшее значение в своем поддереве. По построению, это поддерево содержит в частности подмассив [math]A[i..j], [/math] и [math]LCA(A[i], A[j])[/math] находится между [math]A[i][/math] и [math]A[j][/math]. То есть [math]LCA(A[i], A[j])[/math] является [math]RMQ(i, j).[/math]

Сложность

Построение дерева наивным алгоритмом [math]O(n^2)[/math]. Существует алгоритм построения за [math]O(n)[/math].

Препроцессинг для [math]LCA[/math][math]O(n)[/math] и ответ на запрос [math]O(1)[/math]. В итоге получили [math]RMQ[/math] {построение [math]O(n)[/math], запрос [math]O(1)[/math]}.

См.также