Симметричное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
В математике [[бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
+
[[бинарное отношение|Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =

Версия 03:02, 12 декабря 2011

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется симметричным, если для каждой пары элементов множества [math](a, b)[/math] выполнение отношения [math]a\,R\,b[/math] влечёт выполнение отношения [math]b\,R\,a[/math].

Определение:
Отношение [math]R[/math] симметрично, если [math]\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a[/math].

Отношение связи вершин неориентированного графа симметрично. Матрица симметричного отношения (т.е. симметричная матрица) является квадратной и симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу [math]A[/math], что [math] \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}[/math].

Примером антисимметричного отношения является отношение связи вершин направленного ациклического графа.

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

Примеры симметричных отношений

  • Отношения эквивалентности:
    • отношение равенства [math]=\;[/math]
    • отношение сравнимости по модулю
    • отношение равномощности множеств
    • отношение параллельности прямых и плоскостей
    • отношение подобия геометрических фигур
  • Отношения толерантности:
    • отношение "знакомства"
    • отношение "наличие общего свойства"

Источники