Симметричное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Добавил больше примеров, указал источники и немного изменил порядок изложения материала.)
Строка 5: Строка 5:
 
}}
 
}}
 
Отношение связи вершин неориентированного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] симметрично.
 
Отношение связи вершин неориентированного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] симметрично.
В то время как отношение связи вершин ориентированного графа [[Антисимметричное отношение|антисимметрично]].
+
Матрица симметричного отношения (т.е. симметричная матрица) является квадратной и симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу <tex>A</tex>, что <tex> \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}</tex>.
 +
 
 +
Примером [[Антисимметричное отношение|антисимметричного отношения]] является отношение связи вершин направленного ациклического графа.
  
 
Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным).
 
Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным).

Версия 00:40, 16 октября 2011

В математике бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется симметричным, если для каждой пары элементов множества [math](a, b)[/math] выполнение отношения [math]a\,R\,b[/math] влечёт выполнение отношения [math]b\,R\,a[/math].

Определение:
Отношение [math]R[/math] симметрично, если [math]\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a[/math].

Отношение связи вершин неориентированного графа симметрично. Матрица симметричного отношения (т.е. симметричная матрица) является квадратной и симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу [math]A[/math], что [math] \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}[/math].

Примером антисимметричного отношения является отношение связи вершин направленного ациклического графа.

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

Примеры симметричных отношений

  • Отношения эквивалентности:
    • отношение равенства [math]=\;[/math]
    • отношение сравнимости по модулю
    • отношение равномощности множеств
    • отношение параллельности прямых и плоскостей
    • отношение подобия геометрических фигур
  • Отношения толерантности:
    • отношение "знакомства"
    • отношение "наличие общего свойства"

Источники