Симуляция одним распределением другого — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 18: Строка 18:
 
Дисперсия вычисляется аналогично.
 
Дисперсия вычисляется аналогично.
 
: <tex dpi = "140">D(X) = \frac{q}{p^{2}} = \frac{4}{9} </tex>
 
: <tex dpi = "140">D(X) = \frac{q}{p^{2}} = \frac{4}{9} </tex>
Рассмотрим теперь общий случай. Допустим у нас есть распределение с вероятностями <tex dpi = "140">p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1.</tex> Нам нужно получить распределение с вероятностями <tex dpi = "140">q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1.</tex>
+
Рассмотрим теперь общий случай.
Алгоритм состоит в следующем: при выпадании <tex dpi = "140">p_k,</tex> рассматриваем его пересечение с отрезками <tex dpi = "140">q_j.</tex>Потом делим отрезок <tex dpi = "140">p_k</tex> на отрезки длины <tex dpi = "140">p_ip_k, (\sum\limits_{i}p_ip_k = p_k). </tex> Потом эксперимент повторяется, до тех пор, пока выбраный нами отрезок <tex dpi = "140"> {p_n}_k </tex> полностью не будет содержаться в некотором <tex dpi = "140">q_j.</tex>
+
Допустим у нас есть распределение <tex>p.</tex> Нам нужно получить распределение <tex>q.</tex>:
 
+
* <tex>p = \frac{1}{k}, q_1 </tex> и <tex> q_2, q_1 + q_2 = 1.</tex> Проводим эксперимент, если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,</tex> то увеличиваем ее и повторяем эксперимент. Вероятность неудачи на шаге {{---}} <tex>\frac{1}{k}</tex> Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \frac{k}{k-1}, max(\frac{k}{k-1}) = 2</tex> <tex>(k = 2) </tex>
 +
* <tex>p = \frac{1}{k}, q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. </tex> Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз. <tex> k^t \ge 2n, t \ge \log\limits_{k}2n </tex> Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет не более, чем в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>
 +
* <tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1, q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. </tex> Берем p_i и пусть оно максимальной длины. Проводим t экспериментов. {p_i}^t < \frac{1}{2n}, </tex> все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\frac{1}{2}.</tex> Нужно <tex> t \ge \log\limits_{p}\frac{1}{2n} </tex>  
 +
Вывод: из любого исходного распределения можно получить любое.
 
==См. также==  
 
==См. также==  
 
*[[Условная вероятность]]
 
*[[Условная вероятность]]

Версия 01:04, 16 января 2011

Распределение

Геометрическое распределение с p = 3/4
Симуляция распределений

Распределение — одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайной величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей, в более сложных — т. н. функцией распределения или плотностью вероятности.

Примеры распределений

  • Биномиальное распределение
  • Нормальное распределение
  • Равномерное распределение

Симуляция распределений

Рассмотрим следующий случай. Допустим, у нас есть честная монета. А нам надо получить распределения с вероятностями [math]1/3[/math]. Проведем селдующий эксперимент. Подкинем монету дважды. И если выпадет два раза орел - эксперимент не удался, повторим его. Предположим, что у нас есть последовательность экспериментов. Вероятность успеха [math]p = \frac{3}{4}[/math]. Вероятность неудачи [math]q = 1 - p = \frac{1}{4}[/math] Сколько экспериментов будет проведено до того, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина [math]X[/math] равна количествуэкспериментов, необходимых для достижения успеха. Тогда [math]X[/math] принимает значения [math]\{1,2,...\}[/math] и для [math] k \ge 1 [/math]

[math]{p}(X = k) = q^{k-1}p,[/math]

поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено [math] k - 1 [/math] неуспешных. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределением. Так как [math] q \lt 1 [/math] можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения.

[math]E(X) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k-1}p = \frac{p}{q}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k} = \frac{p}{q} \frac{q}{(1 - q)^{2}} = \frac{1}{p} =\frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}. [/math]

Дисперсия вычисляется аналогично.

[math]D(X) = \frac{q}{p^{2}} = \frac{4}{9} [/math]

Рассмотрим теперь общий случай. Допустим у нас есть распределение [math]p.[/math] Нам нужно получить распределение [math]q.[/math]:

  • [math]p = \frac{1}{k}, q_1 [/math] и [math] q_2, q_1 + q_2 = 1.[/math] Проводим эксперимент, если попадаем в область пересекающуюся с [math] q_1 [/math] и [math] q_2,[/math] то увеличиваем ее и повторяем эксперимент. Вероятность неудачи на шаге — [math]\frac{1}{k}[/math] Математическое ожидание количества экспериментов — [math] \frac{k}{k-1}, max(\frac{k}{k-1}) = 2[/math] [math](k = 2) [/math]
  • [math]p = \frac{1}{k}, q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. [/math] Повторим эксперимент [math] t [/math] раз. [math] k^t \ge 2n, t \ge \log\limits_{k}2n [/math] Отрезок разбился на [math] k^t [/math] отрезков. Стык будет не более, чем в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов [math] \approx 2t [/math]
  • [math]p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1, q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. [/math] Берем p_i и пусть оно максимальной длины. Проводим t экспериментов. {p_i}^t < \frac{1}{2n}, </tex> все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше [math]\frac{1}{2}.[/math] Нужно [math] t \ge \log\limits_{p}\frac{1}{2n} [/math]

Вывод: из любого исходного распределения можно получить любое.

См. также

Литература