Симуляция одним распределением другого

Распределение

Геометрическое распределение с p = 3/4

Симуляция распределений

Распределение — одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайной величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей, в более сложных — т. н. функцией распределения или плотностью вероятности.

Примеры распределений

• Биномиальное распределение
• Нормальное распределение
• Равномерное распределение

Симуляция распределений

Рассмотрим следующий случай. Допустим, у нас есть честная монета. А нам надо получить распределения с вероятностями [math]1/3[/math]. Проведем селдующий эксперимент. Подкинем монету дважды. И если выпадет два раза орел - эксперимент не удался, повторим его. Предположим, что у нас есть последовательность экспериментов. Вероятность успеха [math]p = \frac{3}{4}[/math]. Вероятность неудачи [math]q = 1 - p = \frac{1}{4}[/math] Сколько экспериментов будет проведено до того, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина [math]X[/math] равна количествуэкспериментов, необходимых для достижения успеха. Тогда [math]X[/math] принимает значения [math]\{1,2,...\}[/math] и для [math] k \ge 1 [/math]

[math]{p}(X = k) = q^{k-1}p,[/math]

поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено [math] k - 1 [/math] неуспешных. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределением. Так как [math] q \lt 1 [/math] можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения.

[math]E(X) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k-1}p = \frac{p}{q}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k} = \frac{p}{q} \frac{q}{(1 - q)^{2}} = \frac{1}{p} =\frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}. [/math]

Дисперсия вычисляется аналогично.

[math]D(X) = \frac{q}{p^{2}} = \frac{4}{9} [/math]

Рассмотрим теперь общий случай. Допустим у нас есть распределение с вероятностями [math]p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1.[/math] Нам нужно получить распределение с вероятностями [math]q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1.[/math] Алгоритм состоит в следующем. При выпадании [math]p_k[/math] пересекаем отрезки [math]q_j[/math] с отрезком [math]p_k.[/math] Потом делим отрезок [math]p_k[/math] на отрезки длины [math]p_ip_k,\sum\limits_{i}p_ip_k = p_k. [/math] Потом эксперимент повторяется, до тех пор, пока [math] {p_n}_k [/math] в пересечении с [math]q_j[/math] не даст только один отрезок [math]q_t[/math]

См. также

• Условная вероятность
• Дискретная случайная величина
• Дисперсия случайной величины

Литература

• Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. - М., Физматлит, 1984.
• Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ 1244c.