Сингулярное разложение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''Сингулярное разложение''' — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к…»)
 
 
Строка 2: Строка 2:
  
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==
 +
 +
Пусть <tex> F </tex> — <tex> l \times n </tex> матрица. Тогда <tex> F </tex> можно представить в следующем виде:
  
 
<tex> F = V D U^T </tex>.
 
<tex> F = V D U^T </tex>.

Текущая версия на 18:14, 19 марта 2019

Сингулярное разложение — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к каноническому виду.

Свойства[править]

Пусть [math] F [/math][math] l \times n [/math] матрица. Тогда [math] F [/math] можно представить в следующем виде:

[math] F = V D U^T [/math].

Основные свойства сингулярного разложения:

  • [math] l \times n [/math]-матрица [math] V = (v_1, \dots, v_n) [/math] ортогональна, [math] V^T V = I_n [/math],
    столбцы [math] v_j [/math] — собственные векторы матрицы [math] F F^T [/math];
  • [math] n \times n [/math]-матрица [math] U = (u_1, \dots, u_n) [/math] ортогональна, [math] U^T U = I_n [/math],
    столбцы [math] u_j [/math] — собственные векторы матриц [math] F^T F [/math];
  • [math] n \times n [/math]-матрица [math] D [/math] диагональна, [math] D = diag(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) [/math],
    [math] \lambda_j \geq 0 [/math] — собственные значения матриц [math] F^T F [/math] и [math] F F^T [/math],
    [math] \sqrt{ \lambda_j } [/math] — сингулярные числа матрицы [math] F [/math].