Изменения

|definition='''МорфизмомСтроками Фибоначчи''' называется отображение (англ. ''Fibostring'') называются строки над алфавитом <tex>\Sigma = \{x, y\}</tex>, полученные последовательным применением морфизма <tex>h</tex>:* <tex>h(x) = xy</tex>* <tex>h(y) = x</tex>к строке <tex>s = y</tex>, т. е. последовательность <tex>f_n(x, которое каждоый букве y) = h^n(y)</tex>. }} ==Примеры==Первые несколько строк Фибоначчи:  * <tex>f_0 = y</tex>* <tex>f_1 = x</tex>* <tex>f_2 = xy</tex>* <tex>f_3 = xyx</tex>* <tex>f_4 = xyxxy</tex>* <tex>f_5 = xyxxyxyx</tex> ==Рекуррентное соотношение для строк Фибоначчи=={{Лемма|about=1|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}, n \lambdageqslant 2</tex>.|proof=Докажем методом математической индукции по <tex>f_n</tex>. '''База:'''  : При <tex>n = 2</tex> выполняется <tex>f_2=xy=f_1f_0</tex>. '''Переход:'''  :Пусть <tex>n > 2</tex> и <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>. :<tex>f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})</tex> из алфавита . :Так как отображение <tex>Ah</tex> ставит в соответствие строку {{---}} линейно (т.е. <tex>h(\lambdaxy) = h(x)h(y)</tex> из множества ), то можно продолжить равенство::<tex>A^f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}</tex>.

Любой морфизм <tex>h</tex> Также можно применять к исходной строке <tex>x_0</tex> любое число раззаметить, тем самым генерируя последовательность итераций <tex>h^{*}(x_0)</tex> по следующему правилу: <br><tex>h^{*}(x_0) = \{h^0(x_0), h^1(x_0),...\}</tex>. <br>где <tex>h^0(x_0) = x_0</tex> и для любого целого <tex>k \geq 1</tex> <tex> h^k(x_0) = h(h^{k-1}(x_0))</tex>. <br>Например:<br><tex>A = \{a,b\}, h(a) = a, h(b) = ab</tex>. <br><tex>h^*(a) = \{a,a,..что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.\}</tex> <br><tex>h^*(b) = \{b, ab, a^2b,..., a^kb...\}</tex><br>

|definition=Определим '''Строками бесконечную обобщенную строку Фибоначчи''' являются строки, порожденные следующим морфизмом:* <tex>A = \f_{a,b\infty}(x,y)</tex>* <tex>h''' (aангл. ''generalized infinite Fibostring'') = ab</tex> * как строку, содержащую все строки <tex>hf_n(bx,y) = a, n \geqslant 0</tex>в качестве префиксов.

|about = 2|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению Для любого целого <tex>k \geqslant 0</tex> выполняется <tex>f_n = f_{n-k}(f_{k+1},f_k)</tex>.|proof= <tex>f_n(x,y) = h^n(y) = h^{n-k}(h^k(y))</tex> <tex>f_n(x,y) = h^k(f_{n-k}(x,y)) = f_{n-k}(h^k(x),h^k(y)) </tex> Так как <tex>h^k(x)=h^{k+1}(y)</tex>, то <tex>f_n(x,y) = f_{n-k}(h^k(x),h^k(y)) = f_{n-k}(h^{k+1}(y),h^k(y))</tex>. }}'''Например''':<tex>f_7 = f_5(f_3, f_2) = (xyx)(xy)(xyx)(xyx)(xy)(xyx)(xy)(xyx)</tex>. Это равенство работает также для <tex>f_{\infty}: f_{\infty} = f_{\infty}(f_{n+1},f_{n}) = f_{n+1}f_n f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+1} f_n f_{n+1} \ldots</tex>. {{Утверждение|about=1|statement = Для любого целого <tex>n</tex> выполняется <tex>f_nf_{n+1} \neq f_{n+1}f_n</tex>.|proof = Докажем это утверждение методом математической индукции по <tex>f_n</tex>. '''База:''' :<tex>f_0f_1 \neq f_1f_0</tex> '''Переход:''' :<tex>f_nf_{n+1}=f_nf_nf_{n-1}=f_nf_{n-1}f_{n-2}f_{n-1}</tex>:<tex>f_{n+1}f_n = f_nf_{n-1}f_n=f_nf_{n-1}f_{n-1 }f_{n-2}</tex>:Но то, что <tex> f_{n-2}f_{n-1} \neq f_{n-1}f_{n-2} </tex> было доказано ранее в ходе индукции.}}{{Лемма|about = 3|statement=Для любого целого <tex>n \geqslant 2</tex> выполняется равенство <tex>f^2_n = f_{n+ 1}f_{n-2}</tex>.|proof= <tex>f_{n+1}f_{n-2}=f_{n}f_{n-1}f_{n-2}=f_{n}f_{n}</tex>. }}{{Лемма|about = 4|statement= Для любого целого <tex>n \geqslant 3</tex> строка <tex>f_n</tex> имеет [[Основные_определения,_связанные_со_строками#border|бордеры]] <tex>f_i</tex> для <tex>i = n-2, n -4,\geq ldots,2-(n \bmod 2)</tex>.|proof=Доказательство нетрудно получить Будем последовательно применять лемму 1. <tex>f_n=f_{n-1}f_{n-2}=f_{n-2}f_{n-3}f_{n-2}</tex>. Таким образом, <tex>f_{n-2}</tex> является бордером. Далее, <tex>f_n=f_{n-3}f_{n-3}f_{n-3}f_{n-4}=f_{n-4}f_{n-5}\ldots f_{n-4} </tex>. Получили, что <tex>f_{n-4}</tex> также является бордером. Продолжая выполнять это преобразование, докажем лемму для всех заданных <tex>i</tex>.}}{{Утверждение|about=2|statement= В <tex>f_n(x,y)</tex> не может содержаться подстроки <tex>x^3</tex> или <tex>y^2</tex>.|proof = Докажем для <tex>x^3</tex> методом математической индукциипо <tex>f_n</tex>. '''База:''':<tex>f_0=y,f_1=x</tex> не содержат <tex>x^3</tex>'''Переход:''':Пусть <tex>n \geqslant 2</tex>, тогда <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>.:Так как <tex>f_{n-1}</tex> и <tex>f_{n-2}</tex> не содержат <tex>x^3</tex>, то такая кратная строка может появиться только на границе строк <tex>f_{n-1}</tex> и <tex>f_{n-2}</tex>.:А <tex>f_{n-2}</tex> равно либо <tex>x</tex>, либо <tex>y</tex>, либо начинается с <tex>xy</tex> (при <tex>n \geqslant 4</tex>).:Таким образом, достаточно доказать, что последние два символа <tex>f_{n-1}</tex> не равны <tex>xx</tex>.:Это выполняется согласно лемме 4, по которой либо <tex>xy</tex>, либо <tex>xyx</tex> является бордером (в зависимости от четности длины строки).}}==Обратный морфизм=={{Определение|definition= '''Обратный морфизм''' <tex>h^{-1}</tex> определяется как отображение:* <tex>h^{-1}(xy) = x</tex>,* <tex>h^{-1}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} y, \overline{xx}\\ x, \text{otherwise}\\ \end{array}\right. </tex>Здесь <tex>\overline{xx}</tex> обозначает, что после этого вхождения <tex>x</tex> в строке опять следует <tex>x</tex>.

База. При }}Обратный морфизм позволяет из строки <tex>f_n</tex> получить строку <tex>f_{n = 2-1}</tex> равенство очевидно.

Переход'''Пример''':: <tex>f_4=xyxxy</tex>. Пусть : Будем последовательно применять морфизм:: Префикс <tex>xy</tex> переходит в <tex>x</tex>, центральный <tex>x</tex> переходит в <tex>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}y</tex>, а суффикс <tex>xy</tex> также переходит в <tex>x</tex>. : Получили <tex>f_{n+1} xyx = f_3</tex>.== Связь с задачей о построении исключений= h(f_n) = h(f_{n-1} + f_{Утверждение|about=3|statement= Для любого целого <tex>n-2})\geqslant 7</tex> <tex>f_n</tex>содержит куб некоторой подстроки. Т.к. h - линейна (т.е. |proof = Строка <tex>f_7 = xyxxyxyxxyxxyxyxxyxyx</tex> содержит подстроку <tex>h(x+y) xyxxyxxyx = h(x) + h(yxyx)^3 </tex> и является префиксом <tex>f_n</tex>), то можно продолжить равенство.для <tex>f_{n+1\geqslant 7</tex>.}} {{Теорема|about= h(f_{n-1|statement= Никакая строка <tex>f_n</tex> не содержит подстроки кратности <tex>4</tex>.}) + h(f_}{{n-2}) Утверждение|about= 4|statement= Бесконечная строка Фибоначчи <tex>f_{n\infty} + f_</tex> является решением {{n-1}Acronym | задачи построения <tex>(2,4)</tex> -исключения| Требуется построить бесконечную строковую последовательность на алфавите размером 2, свободную от кратных подстрок порядка 4, но содержащую кратные подстроки порядков 2 и 3.}}|proof = Это следует из утверждения и теоремы выше.

Также нетрудно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи== См.также ==* [[Слово Туэ-Морса]]

== Литература Источники информации==* Билл Смит. Методы «Методы и алгоритмы вычислений на строках. Пер. с англ. — М.:ООО"И.Д.Вильямс", строках» {{---}} издательство «Вильямс» {{---}} 2006. — 496 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 5{{-8459-1081-1 (рус}} стр.)100-107