Сложение и разность потоков — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 23: Строка 23:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Также есть лемма о разности потоков. Пусть <tex> G = (V, E) - </tex> транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>h</tex> и <tex>f - </tex> [[Определение_сети,_потока#flow|потоки]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f - </tex>[[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>. Тогда разность потоков <tex>h - f</tex>, определяемая уравнением <tex>(h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G_f</tex>, и величина этого потока равна <tex>|h - f| = |h| - |f|</tex>.
+
Также есть лемма о разности потоков. Пусть <tex> G = (V, E)</tex>  <tex>- </tex> транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>h</tex> и <tex>f - </tex> [[Определение_сети,_потока#flow|потоки]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> <tex> - </tex>[[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>. Тогда разность потоков <tex>h - f</tex>, определяемая уравнением <tex>(h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G_f</tex>, и величина этого потока равна <tex>|h - f| = |h| - |f|</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Антисимметричность и правило сохранения потока для <tex>h - f</tex> проверяются аналогично лемме о сложении потоков.
 
Антисимметричность и правило сохранения потока для <tex>h - f</tex> проверяются аналогично лемме о сложении потоков.

Версия 19:38, 1 января 2015

Лемма о сложении потоков

Лемма:
Пусть [math] G = (V, E) - [/math] транспортная сеть с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math], а [math]f - [/math] поток в [math]G[/math]. Пусть [math]G_f - [/math] остаточная сеть в [math]G[/math], порожденная потоком [math]f[/math], а [math]f' - [/math] поток в [math]G_f[/math]. Тогда сумма потоков [math]f + f'[/math], определяемая уравнением [math](f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)[/math], является потоком в [math]G[/math], и величина этого потока равна [math]|f + f'| = |f| + |f'|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока.

1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех [math](u,v) \in V[/math] справедливо:

[math] (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) [/math] [math] = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)[/math]


2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что [math]f'(u,v) \leqslant c_f(u,v)[/math] для всех [math]u,v \in V [/math] и [math] c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) [/math]. Тогда
[math](f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \leqslant f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) [/math].


3) Заметим, что для всех [math]u \in V - \{s,t\}[/math] справедливо равенство
[math] \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0[/math]

[math] |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) [/math] [math]= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Лемма о разности потоков

Лемма:
Также есть лемма о разности потоков. Пусть [math] G = (V, E)[/math] [math]- [/math] транспортная сеть с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math], а [math]h[/math] и [math]f - [/math] потоки в [math]G[/math]. Пусть [math]G_f[/math] [math] - [/math]остаточная сеть в [math]G[/math], порожденная потоком [math]f[/math]. Тогда разность потоков [math]h - f[/math], определяемая уравнением [math](h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)[/math], является потоком в [math]G_f[/math], и величина этого потока равна [math]|h - f| = |h| - |f|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Антисимметричность и правило сохранения потока для [math]h - f[/math] проверяются аналогично лемме о сложении потоков.

Покажем соблюдение ограничений пропускной способности.

[math](h - f)(u,v) = h(u,v) - f(u,v) \leqslant c(u,v) - f(u,v) = c_f(u,v) [/math].

Теперь покажем, что величина потока [math]h - f[/math] равна разности величин потоков [math]h[/math] и [math]f[/math].

[math] |h - f| = \sum\limits_{v\in V} (h - f)(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (h(s,v) - f(s,v)) [/math] [math]= \sum\limits_{v\in V} h(s,v) - \sum\limits_{v\in V} f(s,v) = |h| - |f|[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

  • Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ.[1] — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.