Просмотр исходного текста страницы Сложность задачи вычисления Least Hypervolume Contributor и задачи его аппроксимации

Гиперобъем является индикатором Парето-фронта, набирающим в последнее время популярность<ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009GECCO.pdf Friedrich T., Horoba C., Neumann F. — Multiplicative Approximations and the Hypervolume Indicator (2009)]</ref><ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. — The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation (2010)]</ref>. Важной составляющей многих оптимизирующих алгоритмов, использующих индикатор гиперобъема, является вычисление вклада одного элемента Парето-фронта. К сожалению, даже вычисление минимального вклада (Minimal Contribution, MINCON) и нахождение соответствующего ему элемента (Least Contributor, LC) являются трудными задачами. Более того, даже аппроксимации этих задач являются NP-трудными<ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009EMO.pdf Bringmann K., Friedrich T. Approximating the least hypervolume contributor: NP-hard in general, but fast in practice (2009)]</ref>.

== Используемые обозначения ==

<tex>\mathrm{HYP}\left(M\right)</tex> – гиперобъем множества <tex>M</tex>.

<tex>\mathrm{CON}(M, x) := \mathrm{HYP}(M) - \mathrm{HYP}(M \setminus x)</tex> – вклад элемента <tex>x \in M</tex> в гиперобъем.

<tex>\mathrm{MINCON}(M) := \min \limits_{x \in M} \mathrm{CON}(M, x)</tex> – минимальный вклад в гиперобъем множества. Задача MINCON – задача нахождения <tex>\mathrm{MINCON}(M)</tex>.

<tex>\mathrm{LC}(M) := \mathrm{argmin}_{x \in M} \mathrm{CON}(M, x)</tex> – least contributor, минимальный вкладчик, элемент, имеющей минимальный вклад в гиперобъем. Задача LC – задача нахождения <tex>\mathrm{LC}(M)</tex>.

<tex>\varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)</tex> – элемент, имеющий вклад, отличающийся от минимального не более, чем в <tex>1 + \varepsilon</tex> раз, то есть
<tex>\mathrm{CON}(M, \varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)) \le (1 + \varepsilon)\mathrm{MINCON}(M)</tex>. Задача <tex>\varepsilon</tex>-LC – задача нахождения <tex>\varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)</tex>.

Все числа, за исключением <tex>\varepsilon</tex>, будем считать целыми.

== Сложность задачи MINCON ==

{{Теорема 
|statement=

Задача MINCON является #P-трудной, а задача аппроксимации MINCON с точностью до <tex>2^{d^{1 - \varepsilon}}</tex> является NP-трудной для любого <tex>\varepsilon > 0</tex>.

|proof=

Для доказательства теоремы сведем задачу #MON-CNF к задаче MINCON.
Про задачу #MON-CNF известно, что она является #P-трудной, а ее аппроксимация является NP-трудной.

{{Определение
|definition=

Задача #MON-CNF – задача нахождения числа удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой функции, записанной в КНФ, <tex>f = \bigwedge \limits_{k=1}^n \bigvee \limits_{i \in C_k} x_i</tex>,
где клозы <tex> C_k \subseteq {\{1,...,d\}}</tex>.

}}

За <tex>\Box(a_1, \ldots, a_d)</tex> будем обозначать прямоугольный гиперпараллелепипед <tex>[0, a_1] \times \ldots \times [0, a_d]</tex>.
Пусть <tex>f = \bigwedge \limits_{k=1}^n \bigvee \limits_{i \in C_k} x_i</tex> – монотонная булева функция в КНФ <tex> C_k \subseteq {\{1,...,d\}}</tex>.
Построим параллелепипеды <tex>A_k = \Box(a_1^k, \ldots, a_d^k, 2^d + 2) \subseteq \mathbb{R}^{d+1}</tex> для  каждого клоза формулы, при этом

<tex>a_i^k =
  \begin{cases}
    1,~\text{if}~i \in C_k \\
    2,~\text{otherwise}
  \end{cases}
</tex>

Также добавим параллелепипед <tex>B = \Box(2, \ldots, 2, 1) \subseteq \mathbb{R}^{d+1}</tex>. Таким образом, множество <tex>M</tex> будет
состоять из <tex>n + 1</tex> элемента <tex>\{A_1, \ldots, A_n, B\}</tex>. Не умаляя общности, будем считать, что ни один клоз не доминируется
другим, то есть <tex>C_i \nsubseteq C_j</tex> для любых <tex>i \neq j</tex>.
Для каждого <tex>A_k</tex> существуют такие <tex>x_i  = a_i^k - 1</tex>, что область <tex>[x_1, x_1 + 1] \times \ldots \times [x_d, x_d + 1] \times [1, 2^d + 2]</tex> уникально покрывается только
элементом <tex>A_k</tex>, что означается, что <tex>\mathrm{CON}(M, A_k) > 2^d</tex> для любого <tex>k</tex>. Так как объем <tex>B</tex> составляет лишь <tex>2^d</tex>, то
именно <tex>B</tex> будет являться минимальным вкладчиком.

Представим <tex>B</tex> в виде набора кубиков  <tex>B_x = [x_1, x_1 + 1] \times \ldots \times [x_d, x_d + 1] \times [0, 1]</tex>, где <tex>x_i \in \{0, 1\}</tex>.
Чтобы <tex>B_x</tex> входил в <tex>\mathrm{CON}(M, B)</tex>, необходимо, чтобы <tex>B_x</tex> не входил в <tex>\bigcup \limits_{k = 1}^n A_k</tex>.
<tex>B_x</tex> входит в <tex>A_k</tex>, если для всех <tex>i \in \{1, \ldots, d\}</tex> выполнено <tex>x_i + 1 \le a_i^k</tex>, то есть <tex>a_i^k = 2</tex> для всех <tex>x_i = 1</tex>,
и <tex>i \notin C_k</tex>.  Получаем, что такой набор <tex>(x_1, \ldots, x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\bigwedge \limits_{i \in C_k} \lnot x_i</tex> для какого-то <tex>k</tex>, то
есть <tex>(x_1, \ldots, x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f} = \bigvee \limits_{k=1}^n \bigwedge \limits_{i \in C_k} \lnot x_i</tex>.
Таким образом, <tex>B_x \subseteq \mathrm{CON}(M, B)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>(x_1, \ldots, x_d)</tex> удовлетворяет <tex>f</tex>, то есть
<tex>\mathrm{MINCON}(M) = \mathrm{CON}(M, B) = \left\vert\left\{ \left(x_1, \ldots, x_d \right) \in \left\{0, 1\right\}^d | \left(x_1, \ldots, x_d \right) \text{ satisfies } f \right\}\right\vert</tex>.

Из-за сведения получаем, что задача MINCON является #P-трудной, а ее аппроксимация является NP-трудной, даже когда минимальный вкладчик уже известен.
}}

== Сложность задачи <tex>\varepsilon</tex>-LC==

{{Теорема 
|statement=

Задача <tex>\varepsilon</tex>-LC является NP-трудной.

|proof=

Для доказательства этой теоремы сведем задачу MINCON к задаче <tex>\varepsilon</tex>-LC. Не умаляя общности, будем считать, что <tex>d \ge 2</tex>, так как для
<tex>d = 1</tex> задача становится тривиальной. Также будем считать, что <tex>\mathrm{MINCON}(M) > 0</tex>.

Пусть <tex>V</tex> – размер обрамляющего прямоугольного параллелепипеда множества <tex>M</tex>. Очевидно, что <tex>V \le 2^{\text{input size}}</tex>.

Определим новое множество элементов:

<tex>A = \left\{\Box\left(a_1 + 2V, a_2, \ldots, a_d\right) | \left(a_1, \ldots, a_d\right) \in M\right\}</tex>,

<tex>B = \Box \left(2V, \ldots, 2V\right)</tex>,

<tex>C_{\lambda} = \Box \left(1, \ldots, 1, 2V + \lambda \right)</tex>,

<tex>M_{\lambda} = A \cup \{B\} \cup \{ C_{\lambda} \}</tex>.

Исходные элементы были сдвинуты вдоль первой оси, поэтому вклад этих элементов не изменился, так как добавленная часть покрывается новым элементом <tex>B</tex>.
Также отметим, что вклад каждого из элементов множества <tex>A</tex> не превышает <tex>V</tex>.

Элемент <tex>B</tex> единственный, кто покрывает область <tex>[V, 2V] \times \ldots \times [V, 2V]</tex>, объем которой превышает <tex>V</tex>. Единственным кандидатом на
должность минимального вкладчика, не присутствовавшего в начальном множестве <tex>M</tex>, является элемент <tex>C_{\lambda}</tex>. Его вклад в точности соответствует области
<tex>[0, 1] \times \ldots \times [0, 1] \times [2V, 2V + \lambda]</tex>, объем которой равен <tex>\lambda</tex>.
Таким образом, элемент <tex>C_{\lambda}</tex> является минимальным вкладчиком только при условии <tex>\lambda \le \mathrm{MINCON}(M)</tex>.

Так как умея решать задачу LC, мы можем проверять, является ли <tex>C_{\lambda}</tex> минимальным вкладчиком, можно
устроить двоичный поиск по величине <tex>\lambda</tex>, чтобы найти <tex>\mathrm{MINCON}(M)</tex>, что
потребует <tex>O(\log(V))</tex> шагов. Однако в случае <tex>\varepsilon</tex>-LC запросов
обычный двоичный поиcк осуществить не удается. Несмотря на появившуюся неточность, продолжим выполнять
все шаги двоичного поиска как обычно.

Использование <tex>\varepsilon</tex>-LC может привести двоичный поиск не туда.
Будем искать только старший бит ответа, то есть положим <tex>\lambda = 2^{\kappa}</tex>, где <tex>\kappa</tex> – целое число.
Так как мы имеем <tex>\mathrm{CON}(M, \varepsilon\text{-LC}(M)) \le (1 + \varepsilon) \mathrm{MINCON}(M)</tex>, то неправильный ответ
на запрос может выдаваться только при <tex>(1 + \varepsilon)^{-1}\mathrm{MINCON}(M) \le 2^{\kappa} \le (1 + \varepsilon)\mathrm{MINCON}(M)</tex>.
Вне этого интервала результат запроса всегда верен.
Используя такой двоичный поиск, мы получим число <tex>\kappa</tex>, которое или попадает в указанный интервал, и тогда задача решена, или является
максимальным целым числом, меньшим <tex>\log_2 \left((1 + \varepsilon)^{-1}\mathrm{MINCON}(M)\right)</tex>.
Таким образом, <tex>\lambda = 2^{\kappa} \ge \mathrm{MINCON}(M) / (2(1 + \varepsilon))</tex>, то есть была получена <tex>2(1 + \varepsilon)</tex> аппроксимация задачи MINCON.

Ранее было показано, что аппроксимация задачи MINCON является NP-трудной, таким образом, NP-трудность задачи <tex>\varepsilon</tex>-LC доказана.
}}

= Источники =
<references />