1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}Гиперобъем является индикатором Парето-фронта, набирающим в последнее время популярность<ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009GECCO.pdf Friedrich T., Horoba C., Neumann F. — Multiplicative Approximations and the Hypervolume Indicator (2009)]</ref><ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. — The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation (2010)]</ref>. Важной составляющей многих оптимизирующих алгоритмов, использующих индикатор гиперобъема, является вычисление вклада одного элемента Парето-фронта. К сожалению, даже вычисление минимального вклада (Minimal Contribution, MINCON) и нахождение соответствующего ему элемента (Least Contributor, LC) являются трудными задачами. Более того, даже аппроксимации этих задач являются NP-трудными<ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009EMO.pdf Bringmann K., Friedrich T. Approximating the least hypervolume contributor: NP-hard in general, but fast in practice (2009)]</ref>.
== Источники ==# Bringmann K., Friedrich T. Approximating the least hypervolume contributor: NP-hard in general, but fast in practice (2009)<references />
rollbackEdits.php mass rollback
== Используемые обозначения ==
<tex>\mathrm{CON}(M, x) := \mathrm{HYP}(M) - \mathrm{HYP}(M \setminus x)</tex> – вклад элемента <tex>x \in M</tex> в гиперобъем.
<tex>\mathrm{MINCON}(M) := \min \limits_{x \in M} \mathrm{CON}(M, x)</tex> – минимальный вклад в гиперобъем множества. Задача MINCON – задача нахождения <tex>\mathrm{MINCON}(M)</tex>.
<tex>\mathrm{LC}(M) := \mathrm{argmin}_{x \in M} \mathrm{CON}(M, x)</tex> – least contributor, минимальный вкладчик, элемент, имеющей минимальный вклад в гиперобъем. Задача LC – задача нахождения <tex>\mathrm{LC}(M)</tex>.
<tex>\varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)</tex> – элемент, имеющий вклад, отличающийся от минимального не более , чем в <tex>1 + \varepsilon</tex> раз, то есть<tex>\mathrm{CON}(M, \varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)) \le (1 + \varepsilon)\mathrm{MINCON}(M)</tex>. Задача <tex>\varepsilon</tex>-LC – задача нахождения <tex>\varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)</tex>. Все числа, за исключением <tex>\varepsilon</tex>, будем считать целыми.
== Сложность задачи MINCON ==
|statement=
Задача MINCON является #P-трудной, а задача аппроксимации MINCON с точностью до <tex>2^{d^{1 - \varepsilon}}</tex> является NP-трудной для любого <tex>\varepsilon > 0</tex>.
|proof=
|definition=
Задача #MON-CNF – задача нахождения числа удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулыфункции, записанной в КНФ, <tex>f = \bigwedge \limits_{k=1}^n \bigvee \limits_{i \in C_k} x_i</tex>,
где клозы <tex> C_k \subseteq {\{1,...,d\}}</tex>.
}}
За <tex>\Box(a_1, \ldots, a_d)</tex> будем обозначать прямоугольный гиперпараллелипипед гиперпараллелепипед <tex>[0, a_1] \times \ldots \times [0, a_d]</tex>.Пусть <tex>f = \bigwedge \limits_{k=1}^n \bigvee \limits_{i \in C_k} x_i</tex> – монотонная булева формула функция в КНФ, <tex> C_k \subseteq {\{1,...,d\}}</tex>.Построим параллелипипеды параллелепипеды <tex>A_k = \Box(a_1^k, \ldots, a_d^k, 2^d + 2) \subseteq \mathbb{R}^{d+1}</tex> для каждого клоза формулы, при этом
<tex>a_i^k =
</tex>
Также добавим параллелипипед параллелепипед <tex>B = \Box(2, \ldots, 2, 1) \subseteq \mathbb{R}^{d+1}</tex>. Таким образом , множество <tex>M</tex> будет
состоять из <tex>n + 1</tex> элемента <tex>\{A_1, \ldots, A_n, B\}</tex>. Не умаляя общности, будем считать, что ни один клоз не доминируется
другим, то есть <tex>C_i \nsubseteq C_j</tex> для любых <tex>i \neq j</tex>.
Для каждого <tex>A_k</tex> существуют такие <tex>x_i = a_i^k - 1</tex>, что область <tex>[x_1, x_1 + 1] \times \ldots \times [x_d, x_d + 1] \times [1, 2^d + 2]</tex> уникально покрывается только
элементом <tex>A_k</tex>, что означается, что <tex>\mathrm{CON}(M, A_k) > 2^d</tex> для любого <tex>k</tex>. Так как объем <tex>B</tex> составляется составляет лишь <tex>2^d</tex>, то
именно <tex>B</tex> будет являться минимальным вкладчиком.
и <tex>i \notin C_k</tex>. Получаем, что такой набор <tex>(x_1, \ldots, x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\bigwedge \limits_{i \in C_k} \lnot x_i</tex> для какого-то <tex>k</tex>, то
есть <tex>(x_1, \ldots, x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f} = \bigvee \limits_{k=1}^n \bigwedge \limits_{i \in C_k} \lnot x_i</tex>.
Таким образом , <tex>B_x \subseteq \mathrm{CON}(M, B)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>(x_1, \ldots, x_d)</tex> удовлетворяет <tex>f</tex>, то есть
<tex>\mathrm{MINCON}(M) = \mathrm{CON}(M, B) = \left\vert\left\{ \left(x_1, \ldots, x_d \right) \in \left\{0, 1\right\}^d | \left(x_1, \ldots, x_d \right) \text{ satisfies } f \right\}\right\vert</tex>.
|proof=
Для докозательства доказательства этой теоремы сведем задачу MINCON к задаче <tex>\varepsilon</tex>-LC. Не умаляя общности, будем считать, что <tex>d \ge 2</tex>, так как для
<tex>d = 1</tex> задача становится тривиальной. Также будем считать, что <tex>\mathrm{MINCON}(M) > 0</tex>.
Пусть <tex>V</tex> – размер обрамляющего прямоугольного параллелипипеда параллелепипеда множества <tex>M</tex>. Очевидно, что <tex>V \le 2^{\text{input size}}</tex>.
Определим новое множество элементов:
<tex>M_{\lambda} = A \cup \{B\} \cup \{ C_{\lambda} \}</tex>.
Исходные элементы были сдвинуты вдоль первой оси, поэтому вклад этих элементов не изминилсяизменился, так как добавленная часть покрывается новым элементом <tex>B</tex>.
Также отметим, что вклад каждого из элементов множества <tex>A</tex> не превышает <tex>V</tex>.
Элемент <tex>B</tex> единственный, кто покрывает область <tex>[V, 2V] \times \ldots \times [V, 2V]</tex>, объем которой превышает <tex>V</tex>. Единственным кандидатом на
должность минимального вкладчика, не присутствовавшего в начальном множестве <tex>M</tex>, является элемент <tex>C_{\lambda}</tex>. Его вклад в точности соответствуем соответствует области
<tex>[0, 1] \times \ldots \times [0, 1] \times [2V, 2V + \lambda]</tex>, объем которой равен <tex>\lambda</tex>.
Таким образом, элемент <tex>C_{\lambda}</tex> является минимальным вкладчиком только, если при условии <tex>\lambda \le \mathrm{MINCON}(M)</tex>.
Так как умея решать задачу LC, мы можем проверять, является ли <tex>C_{\lambda}</tex> минимальным вкладчиком, можно
устроить двоичный поиск по велечине величине <tex>\lambda</tex>, чтобы найти <tex>\mathrm{MINCON}(M)</tex>, что
потребует <tex>O(\log(V))</tex> шагов. Однако в случае <tex>\varepsilon</tex>-LC запросов
обычный двоичный поиcк осуществить не удается. Несмотря на появившуюся неточность, продолжим выполнять
Вне этого интервала результат запроса всегда верен.
Используя такой двоичный поиск, мы получим число <tex>\kappa</tex>, которое или попадает в указанный интервал, и тогда задача решена, или является
максимальным целым числом , меньшим <tex>\log_2 \left((1 + \varepsilon)^{-1}\mathrm{MINCON}(M)\right)</tex>.Таким образом , <tex>\lambda = 2^{\kappa} \ge \mathrm{MINCON}(M) / (2(1 + \varepsilon))</tex>, то есть была получена <tex>2(1 + \varepsilon)</tex> аппроксимация задачи MINCON.
Ранее было показано, что аппроксимация задачи MINCON является NP-трудной, таким образом , NP-трудность задачи <tex>\varepsilon</tex>-LC доказана.
}}
