Изменения
убрал жирный шрифт
Получаем элементы объекта по порядку: сначала определим какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы нашли первые <tex>i</tex> элементов объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на позиции с номером <tex>i+1</tex>, посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должен стоять на месте с номером <tex>i+1</tex>. Диапазоны номеров не пересекаются, значит на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент.
*В начале каждого шага '''numOfObject''' {{---}} номер комбинаторного объекта среди объектов с заданным префиксом.
*'''n''' {{---}} количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины <tex>n</tex>)
*'''k''' {{---}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Для битового вектора <tex>k=2</tex> : возможны только 0 и 1. Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке, начиная с 1.
Комбинаторные объекты занумерованы с 0. Переход к нумерации с единицы можно сделать с помощью одной операции декремента перед проходом алгоритма.
'''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''
Заметим, что всем префиксам на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (так как количество всевозможных суффиксов зависит только от длины) то есть можем просто посчитать "количество диапазонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью занятых перестановками с меньшим номером) за <tex>O(1) </tex>:
*'''n!''' {{---}} количество перестановок размера <tex>n</tex>
*'''permutation[n]''' {{---}} искомая перестановка
*'''was[n]''' {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке
На <tex>i</tex>-ом шаге:
*'''alreadyWas''' {{---}} сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером
*мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером '''alreadyWas''' + 1 среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра '''j'''
На <tex>k</tex>-ом шаге:
*'''curFree''' {{---}} если элемент с номером <tex>k</tex> свободен, то он имеет номер '''curFree''' среди всех свободных элементов с 1 по <tex>k</tex>
'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '''{'''
alreadyWas = numOfPermutation div (n-i)!
was[j] = true
'''}'''
Данный алгоритм работает за <tex>O(n^2)</tex>, так как в случае перестановок <tex>n=k</tex>. Мы можем посчитать все '''n!''' за <tex>O(n) </tex>. Асимптотику можно улучшить
до <tex>O(n \log {n}) </tex>, если использовать структуры данных (например, [[Декартово дерево|декартово дерево]] по неявному ключу), которые позволяют искать <tex>i</tex>-ый элемент множества и удалять элемент
множества за <tex>O( \log {n}) </tex>.
При построении битовых векторов можно не проверять условие возможности постановки какого-то объекта на текущее место. На каждый позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе. Так как у нас всего два возможных элемента, упростим второй цикл до условия:
*'''bitvector[n]''' {{---}} искомый битовый вектор
*'''2^n''' {{---}} <tex>2^{n}</tex> количество битовых векторов длины <tex>n</tex>
'''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''
