3
правки
Изменения
Новая страница: «== Формулировка == Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</t...»
== Формулировка ==
Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности
== Решение ==
[[Файл:Безымянный.GIF|200px|right|]]
Сначала найдем радиус окружности. Площадь треугольника <tex>ABC</tex> мы можем найти из векторного произведения векторов <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. С другой стороны, <tex>S_{ABC} = S_{AOB} + S_{AOC} + S_{BOC}</tex>. А площадь маленьких треугольников равна половине произведения радиуса окружности на основание. Например, <tex>S_{AOC} = \frac{1}{2} * R * AC</tex>. Отсюда получаем выражение, из которого можно найти радиус окружности. <tex>R = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}</tex>
Теперь будем искать центр окружности. Как известно, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Вектор, коллиниарный вектору <tex>\overrightarrow{AO}</tex>, можно найти следующим образом <tex>\overrightarrow{l} = \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC}</tex>. Обозначим вектор <tex>\overrightarrow{l_1} = \frac{\overrightarrow{l}}{|\overrightarrow{l}|} </tex>. Теперь необходимо найти длину вектора <tex>\overrightarrow{AO}</tex>. <tex> AO = \frac{OH}{sin\frac{\alpha}{2}}</tex>, где <tex>\alpha = \angle{BAC}</tex>. По формуле понижения степени <tex> sin^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}</tex>. Найти <tex>cos\alpha</tex> можно из скалярного произведения. <tex>cos\alpha = \frac{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}</tex>. Заметим, что <tex>OH = R</tex>, и можем выразить длину <tex>AO = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}\frac{\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}</tex>. Задача почти решена, осталось только отметить, что <tex>AB = |\overrightarrow{AB}|, AC = |\overrightarrow{AC}|, BC = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|</tex>, а радиус-вектор точки центра окружности совпадает с радиус-вектором <tex>\overrightarrow{AO} </tex>, a <tex>\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{l_1} * AO </tex>
Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности
== Решение ==
[[Файл:Безымянный.GIF|200px|right|]]
Сначала найдем радиус окружности. Площадь треугольника <tex>ABC</tex> мы можем найти из векторного произведения векторов <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. С другой стороны, <tex>S_{ABC} = S_{AOB} + S_{AOC} + S_{BOC}</tex>. А площадь маленьких треугольников равна половине произведения радиуса окружности на основание. Например, <tex>S_{AOC} = \frac{1}{2} * R * AC</tex>. Отсюда получаем выражение, из которого можно найти радиус окружности. <tex>R = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}</tex>
Теперь будем искать центр окружности. Как известно, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Вектор, коллиниарный вектору <tex>\overrightarrow{AO}</tex>, можно найти следующим образом <tex>\overrightarrow{l} = \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC}</tex>. Обозначим вектор <tex>\overrightarrow{l_1} = \frac{\overrightarrow{l}}{|\overrightarrow{l}|} </tex>. Теперь необходимо найти длину вектора <tex>\overrightarrow{AO}</tex>. <tex> AO = \frac{OH}{sin\frac{\alpha}{2}}</tex>, где <tex>\alpha = \angle{BAC}</tex>. По формуле понижения степени <tex> sin^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}</tex>. Найти <tex>cos\alpha</tex> можно из скалярного произведения. <tex>cos\alpha = \frac{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}</tex>. Заметим, что <tex>OH = R</tex>, и можем выразить длину <tex>AO = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}\frac{\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}</tex>. Задача почти решена, осталось только отметить, что <tex>AB = |\overrightarrow{AB}|, AC = |\overrightarrow{AC}|, BC = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|</tex>, а радиус-вектор точки центра окружности совпадает с радиус-вектором <tex>\overrightarrow{AO} </tex>, a <tex>\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{l_1} * AO </tex>
