Изменения

[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. '''Arbitrarily traceable graph'''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. Разумеется, если граф <br>Любой произвольно вычерчиваем вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex>граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, то он является Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}

<tex>\LeftarrowRightarrow</tex> Пусть вершина в <tex>vG</tex> эйлерова графа <tex>G\exists</tex> принадлежит любому циклу. Рассмотрим произвольную цикл <tex>(C, v, w)\notin C</tex>-цепь .<texbr>P</tex> и покажем, что её можно продолжить до [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлерового цикла]]. Обозначим через Рассмотрим <tex>G_1<= G/tex> подграф графа <tex>GC</tex>(здесь и далее это означает удаление только ребер, полученный удалением из не трогая вершины). Пусть <tex>GH</tex> всех рёбер цепи компонента связности <tex>PG_1</tex>. Если <tex>w=vH</tex>эйлеров граф, то все вершины подграфа а значит содержит эйлеров цикл <tex>G_1P</tex> имеют чётную степень, если же . Будем считать началом и концом <tex>w\ne vP</tex>, то вершину <tex>G_1v</tex> содержит в точности две вершины нечётной степени. Пусть Тогда мы не сможем продложить <tex>H_0P</tex> — [[Отношение связности, компоненты связности|компонента связности]] графа в <tex>G_1G</tex>, содержащая вершину так как <tex>v\notin C</tex>. Вершины <texbr>v</tex> и <tex>w\Leftarrow</tex> лежат на одном цикле в графе Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, значит вершина <tex>wv</tex> принадлежит <tex>H_0</tex>всем его циклам. Следовательно, <texbr>H_0</tex> — полуэйлеров граф, и потому в <tex>H_0</tex> существует эйлерова Рассмотрим произвольную цепь <tex>P = (v, w)</tex>-цепь <tex>Q</tex>.<br>Пусть <tex>H_0<G_1 = G/tex> содержит все рёбра графа <tex>G_1P</tex>. Предположим, что В <tex>G_1</tex> содержит неодноэлементную компоненту связности все степени вершин четные (если <tex>H</tex>, отличную от <tex>H_0v = w</tex>) либо ровно 2 вершины имеют нечетную степень. Тогда Возьмем <tex>HH_1</tex> — эйлеров граф, и потому в <tex>H-</tex> содержится цикл. Этот цикл не проходит через вершину <tex>v</tex>, что невозможно. Следовательно, все компоненты компонента связности подграфа из <tex>G_1</tex>, отличные от содержащая <tex>H_0v</tex>, одноэлементны.<br>Таким образом, цепь <tex>Q</tex> содержит все рёбра графа Все ребра <tex>G_1</tex>. Отсюда вытекает, что объединение цепей <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> — эйлеров цикл содержатся в графе <tex>GH_1</tex>, являющийся продолжением цепи <tex>P</tex>.<br><tex>\Rightarrow</tex> Пусть в графе <tex>G</tex> иначе существует цикл <tex>C</tex>, не содержащий проходящий через какую либо вершину из <tex>vP</tex>. Рассмотрим подграф кроме <tex>G_1v</tex>, полученный удалением (следует из эйлеровости графа <tex>G</tex> всех рёбер цикла ) что невозможно по условию.<texbr>C</tex>. Пусть <tex>HH_1</tex> — компонента связности подграфа полуэйлеров граф содержащий все ребра <tex>G_1</tex>, содержащая вершину значит в нем <tex>v\exists</tex>. Легко понять, что эйлерова цепь <tex>H</tex> — эйлеров граф. Обозначим через <tex>P</tex> эйлеров цикл подграфа. Можно считатьQ=(w, что началом и концом цикла <tex>P</tex> является вершина <tex>v)</tex>. Поскольку также содержащая все ребра <tex>vG_1</tex> не принадлежит циклу <tex>C\Rightarrow</tex>, цепь <tex>P+Q</tex> нельзя продолжить до эйлерового цикла графа эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>. }}

Опираясь на теорему несложно описать опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. <br>